按(x-4 )的幂展开多项式(x)=(x)^4-5(x)^3+(x)^2-3x+4

考查要点：本题要求将四次多项式$f(x)$按$(x-4)$的幂展开，核心思路是利用泰勒展开定理，通过计算各阶导数在$x=4$处的值，构造展开式。

解题关键：

1. 泰勒展开形式：多项式在$x=a$处的展开式为$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$，其中$n$为多项式次数。
2. 导数计算：四次多项式的四阶导数为常数，五阶及以上导数为0，因此展开式最多到四次项。
3. 代入计算：分别求出$f(4)$、$f'(4)$、$f''(4)$、$f'''(4)$、$f''''(4)$，代入泰勒公式即可。

步骤1：计算各阶导数

1. 原函数：
   $f(x) = x^4 -5x^3 +x^2 -3x +4$
2. 一阶导数：
   $f'(x) = 4x^3 -15x^2 +2x -3$
3. 二阶导数：
   $f''(x) = 12x^2 -30x +2$
4. 三阶导数：
   $f'''(x) = 24x -30$
5. 四阶导数：
   $f''''(x) = 24$
6. 五阶及以上导数：均为0。

步骤2：求各阶导数在$x=4$处的值

1. $f(4)$：
   $4^4 -5 \cdot 4^3 +4^2 -3 \cdot 4 +4 = 256 -320 +16 -12 +4 = -56$
2. $f'(4)$：
   $4 \cdot 4^3 -15 \cdot 4^2 +2 \cdot 4 -3 = 256 -240 +8 -3 = 21$
3. $f''(4)$：
   $12 \cdot 4^2 -30 \cdot 4 +2 = 192 -120 +2 = 74$
4. $f'''(4)$：
   $24 \cdot 4 -30 = 96 -30 = 66$
5. $f''''(4)$：
   $24$

步骤3：代入泰勒展开式

泰勒展开式为：
$\begin{aligned}f(x) &= f(4) + f'(4)(x-4) + \frac{f''(4)}{2!}(x-4)^2 \\&\quad + \frac{f'''(4)}{3!}(x-4)^3 + \frac{f''''(4)}{4!}(x-4)^4\end{aligned}$

代入数值：
$\begin{aligned}f(x) &= -56 + 21(x-4) + \frac{74}{2}(x-4)^2 \\&\quad + \frac{66}{6}(x-4)^3 + \frac{24}{24}(x-4)^4 \\&= -56 + 21(x-4) + 37(x-4)^2 \\&\quad + 11(x-4)^3 + (x-4)^4\end{aligned}$