2.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||-f(x,y)= ) xy,0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 2 0, -|||-(2)为求X的边缘概率密度。

考查要点：本题主要考查二维随机变量的联合概率密度的应用，包括概率计算和边缘概率密度的求解。

解题思路：

1. 概率计算：确定事件$\{X+Y \leq 1\}$对应的区域，利用二重积分计算概率，注意积分限的确定。
2. 边缘概率密度：通过对联合概率密度在$y$上积分，得到关于$x$的边缘密度，注意积分区间的选择。

关键点：

• 积分区域的几何意义：$X+Y \leq 1$在$x$和$y$的取值范围内形成的区域。
• 积分顺序：先对$y$积分，再对$x$积分，简化计算。
• 边缘密度的定义：积分联合密度函数消去变量$y$。

第（1）题：求$P\{X+Y \leq 1\}$

确定积分区域

事件$\{X+Y \leq 1\}$在$x$和$y$的取值范围$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 2$内对应的区域为：

• $x$从$0$到$1$，$y$从$0$到$1-x$。

建立积分表达式

概率为：
$P\{X+Y \leq 1\} = \iint_{x+y \leq 1} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} xy \, dy \, dx$

计算内层积分（对$y$积分）

$\int_{0}^{1-x} xy \, dy = x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1-x} = x \cdot \frac{(1-x)^2}{2}$

计算外层积分（对$x$积分）

$\int_{0}^{1} \frac{x(1-x)^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x(1 - 2x + x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x - 2x^2 + x^3) \, dx$

分项积分

$\begin{aligned}\int_{0}^{1} x \, dx &= \frac{1}{2}, \\\int_{0}^{1} 2x^2 \, dx &= \frac{2}{3}, \\\int_{0}^{1} x^3 \, dx &= \frac{1}{4}.\end{aligned}$

合并结果

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{12} = \frac{1}{24}$

第（2）题：求$X$的边缘概率密度$f_X(x)$

根据定义积分

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy$

分情况讨论

• 当$0 \leq x \leq 1$时：
  $f_X(x) = \int_{0}^{2} xy \, dy = x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} = x \cdot 2 = 2x$
• 其他情况：
  $f_X(x) = 0$