题目
半径为R0的导体球外充满均匀的绝缘介质ε,导体球接地,离球心为-|||-a处 (agt (R)_(0)) 置一点电荷qt,试用分离变量法求空间各点-|||-电势,证明所得结果与镜像法相同.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定问题的对称性和边界条件
问题具有轴对称性，因此可以使用球坐标系。导体球接地，即球面上的电势为零。球外的电势满足拉普拉斯方程，球内的电势满足泊松方程。
步骤 2：写出泊松方程和边界条件
球外的电势满足泊松方程：${D}^{2}\varphi =-q,8(x-a{e}_{2})/g$，其中 $q_{t}$ 是点电荷的电量，$a$ 是点电荷到球心的距离。球外的电势在无穷远处为零，球面上的电势为零。
步骤 3：求解泊松方程
球外电势的全部定解条件为：
1. $R\rightarrow\infty$ 时，$\varphi\rightarrow0$；
2. $R=R_{0}$ 时，$\varphi=0$。
球外电势的解可以写为：
$\varphi=\dfrac{q_{t}}{4\pi\varepsilon r}+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{b_{n}}{R^{n+1}}P_{n}(\cos\theta)$，
其中 $r$ 是点电荷到场点的距离，$P_{n}(\cos\theta)$ 是勒让德多项式。
步骤 4：确定系数 $b_{n}$
将 $1/r$ 展开成勒让德多项式的形式，代入球外电势的解中，利用边界条件 $R=R_{0}$ 时，$\varphi=0$，解出系数 $b_{n}$。
步骤 5：验证结果与镜像法相同
将求得的电势与镜像法的结果进行比较，验证两者是否一致。
问题具有轴对称性，因此可以使用球坐标系。导体球接地，即球面上的电势为零。球外的电势满足拉普拉斯方程，球内的电势满足泊松方程。
步骤 2：写出泊松方程和边界条件
球外的电势满足泊松方程：${D}^{2}\varphi =-q,8(x-a{e}_{2})/g$，其中 $q_{t}$ 是点电荷的电量，$a$ 是点电荷到球心的距离。球外的电势在无穷远处为零，球面上的电势为零。
步骤 3：求解泊松方程
球外电势的全部定解条件为：
1. $R\rightarrow\infty$ 时，$\varphi\rightarrow0$；
2. $R=R_{0}$ 时，$\varphi=0$。
球外电势的解可以写为：
$\varphi=\dfrac{q_{t}}{4\pi\varepsilon r}+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{b_{n}}{R^{n+1}}P_{n}(\cos\theta)$，
其中 $r$ 是点电荷到场点的距离，$P_{n}(\cos\theta)$ 是勒让德多项式。
步骤 4：确定系数 $b_{n}$
将 $1/r$ 展开成勒让德多项式的形式，代入球外电势的解中，利用边界条件 $R=R_{0}$ 时，$\varphi=0$，解出系数 $b_{n}$。
步骤 5：验证结果与镜像法相同
将求得的电势与镜像法的结果进行比较，验证两者是否一致。