13.已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x^2+y^2+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数.

考查要点：本题主要考查方向导数的最大值与条件极值的求解方法，需要综合运用多元微分学和拉格朗日乘数法。

解题核心思路：

1. 方向导数的最大值等于函数在该点的梯度模长，因此问题转化为求梯度模长在约束条件下的最大值。
2. 构造拉格朗日函数，通过求解偏导方程组找到可能的极值点。
3. 分类讨论方程解的可能情况，代入约束条件筛选出符合条件的点，最终比较得出最大值。

破题关键点：

• 梯度方向对应最大方向导数，需正确计算梯度模长表达式。
• 拉格朗日乘数法的应用，注意联立方程时的代数变形技巧。
• 分类讨论方程解的两种可能性（变量相等或参数特定值），避免遗漏解。

步骤1：计算梯度模长
函数$f(x,y)=x+y+xy$的梯度为：
$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (1+y, 1+x)$
梯度模长为：
$\|\nabla f\| = \sqrt{(1+y)^2 + (1+x)^2}$

步骤2：构造拉格朗日函数
在约束条件$x^2 + y^2 + xy = 3$下，构造拉格朗日函数：
$L(x,y,\lambda) = (1+y)^2 + (1+x)^2 + \lambda(x^2 + y^2 + xy -3)$

步骤3：求偏导并解方程组
对$x$、$y$、$\lambda$求偏导，得方程组：
$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x} = 2(1+x) + \lambda(2x + y) = 0 \\\frac{\partial L}{\partial y} = 2(1+y) + \lambda(2y + x) = 0 \\x^2 + y^2 + xy = 3\end{cases}$

步骤4：方程组化简
将前两式相减，得：
$(y - x)(2 + \lambda) = 0$
分两种情况讨论：

1. 若$y = x$：代入约束条件得$3x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm 1$，对应点$(1,1)$和$(-1,-1)$。计算模长分别为$2\sqrt{2}$和$0$。
2. 若$\lambda = -2$：联立$x + y = 1$与约束条件，解得点$(2,-1)$和$(-1,2)$，对应模长均为$3$。

步骤5：比较结果
最大方向导数为$3$。