设随机变量X的分布函数为-|||-.times (x)= ) 0, xlt 1, ln x, 1leqslant xlt e 1, xgeqslant e..-|||-(2)求概率密度 fx(x).

考查要点：本题主要考查分布函数的性质及其应用，以及概率密度函数的求解方法。
解题思路：

1. 分布函数的应用：利用分布函数计算概率时，需注意不同区间的表达式，并结合连续型随机变量在单点处概率为0的性质。
2. 概率密度函数的求解：通过分布函数的导数求概率密度，注意分段点处的连续性及导数的定义。

关键点：

• 连续型随机变量的分布函数在定义域内连续，单点概率为0。
• 概率密度函数是分布函数的导数，分段点处的函数值可任意指定（通常设为0）。

(1) 求概率

$P\{ X < 2 \}$

根据分布函数定义，$P\{ X < 2 \} = F(2)$。
当 $1 \leq 2 < e$ 时，$F(2) = \ln 2$，因此：
$P\{ X < 2 \} = \ln 2.$

$P\{ 0 < X \leq 3 \}$

利用分布函数的差分性质：
$P\{ 0 < X \leq 3 \} = F(3) - F(0).$

• $F(3) = 1$（因 $3 \geq e$），
• $F(0) = 0$（因 $0 < 1$）。
  因此：
  $P\{ 0 < X \leq 3 \} = 1 - 0 = 1.$

$P\{ 2 < X < \frac{5}{2} \}$

根据分布函数的差分性质：
$P\{ 2 < X < \frac{5}{2} \} = F\left(\frac{5}{2}\right) - F(2).$

• $\frac{5}{2} < e$，故 $F\left(\frac{5}{2}\right) = \ln \frac{5}{2}$，
• $F(2) = \ln 2$。
  因此：
  $P\{ 2 < X < \frac{5}{2} \} = \ln \frac{5}{2} - \ln 2 = \ln \frac{5}{4}.$

(2) 求概率密度 $f_X(x)$

概率密度函数是分布函数的导数：

• 当 $x < 1$ 或 $x \geq e$ 时，$F(x)$ 为常数，导数为0。
• 当 $1 < x < e$ 时，$F(x) = \ln x$，导数为 $\frac{1}{x}$。
• 在分段点 $x=1$ 和 $x=e$ 处，概率密度可任意指定为有限值（通常设为0）。

综上：
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & 1 < x < e, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$