(5)(本题满分12分)已知f(x)的定义域为 (0,+infty ), 且满足 (x)=1+(int )_(0)^x(u)^2f(u)du.-|||-(I)求f(x);-|||-(II)求f(x)在定义域内的最小值.

步骤 1：求导数
对等式 $xf(x)=1+{\int }_{0}^{x}{u}^{2}f(u)du$ 两边同时求导，得到：
$$
f(x) + xf'(x) = x^2f(x)
$$
步骤 2：整理方程
将上述方程整理为：
$$
xf'(x) = x^2f(x) - f(x)
$$
$$
xf'(x) = (x^2 - 1)f(x)
$$
步骤 3：分离变量
将方程分离变量，得到：
$$
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x^2 - 1}{x}
$$
步骤 4：积分
对上述方程两边积分，得到：
$$
\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{x^2 - 1}{x} dx
$$
$$
\ln|f(x)| = \frac{1}{2}x^2 - \ln|x| + C
$$
步骤 5：求解f(x)
将上述方程整理为：
$$
f(x) = e^{\frac{1}{2}x^2 - \ln|x| + C} = e^C \cdot \frac{e^{\frac{1}{2}x^2}}{x}
$$
步骤 6：确定常数C
根据原方程 $xf(x)=1+{\int }_{0}^{x}{u}^{2}f(u)du$，当 $x=0$ 时，$f(x)=0$，代入上式，得到：
$$
0 = e^C \cdot \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0^2}}{0}
$$
由于 $e^C$ 不为零，所以 $C=0$，因此：
$$
f(x) = \frac{e^{\frac{1}{2}x^2}}{x}
$$
步骤 7：求最小值
对 $f(x)$ 求导，得到：
$$
f'(x) = \frac{e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot x - e^{\frac{1}{2}x^2}}{x^2} = \frac{e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot (x - 1)}{x^2}
$$
令 $f'(x) = 0$，得到 $x = 1$，因此 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值：
$$
f(1) = \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 1^2}}{1} = e^{\frac{1}{2}}
$$