5【判断题】 判断：将函数f(x)=(pi-x)/(2)(0le xle pi)展开成为正弦级数，则f(x)=sum_(n=1)^infty(1)/(n)sin nx,xin[0,pi]. （） A 对 B 错

为了判断给定的函数 $f(x) = \frac{\pi - x}{2}$ 在区间 $[0, \pi]$ 上展开成正弦级数是否正确，我们需要按照以下步骤进行： 1. 确定函数的奇偶性： - 函数 $f(x) = \frac{\pi - x}{2}$ 在 $[0, \pi]$ 上是线性函数，且 $f(0) = \frac{\pi}{2}$ 和 $f(\pi) = 0$。为了将它展开成正弦级数，我们需要将 $f(x)$ 延拓成 $(-\pi, \pi)$ 上的奇函数。 2. 奇延拓： - 将 $f(x)$ 奇延拓到 $(-\pi, 0)$ 上，即定义 $f(-x) = -f(x)$。因此，对于 $-\pi \le x < 0$，有 $f(x) = -\frac{\pi + x}{2}$。 3. 计算傅里叶正弦系数 $b_n$： - 傅里叶正弦级数的系数 $b_n$ 由以下公式给出： $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx$ - 代入 $f(x) = \frac{\pi - x}{2}$： $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{\pi - x}{2} \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi (\pi - x) \sin(nx) \, dx$ 4. 计算积分： - 使用分部积分法，设 $u = \pi - x$ 和 $dv = \sin(nx) \, dx$，则 $du = -dx$ 和 $v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$： $\int_0^\pi (\pi - x) \sin(nx) \, dx = \left[ (\pi - x) \left( -\frac{1}{n} \cos(nx) \right) \right]_0^\pi - \int_0^\pi \left( -\frac{1}{n} \cos(nx) \right) (-dx)$ $= \left[ -\frac{\pi - x}{n} \cos(nx) \right]_0^\pi - \frac{1}{n} \int_0^\pi \cos(nx) \, dx$ $= \left( -\frac{\pi - \pi}{n} \cos(n\pi) + \frac{\pi - 0}{n} \cos(0) \right) - \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_0^\pi$ $= \left( 0 + \frac{\pi}{n} \cdot 1 \right) - \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n} \sin(n\pi) - \frac{1}{n} \sin(0) \right)$ $= \frac{\pi}{n} - \frac{1}{n} \cdot 0 = \frac{\pi}{n}$ 5. 确定 $b_n$： - 代回 $b_n$ 的表达式： $b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} = \frac{1}{n}$ 6. 写出傅里叶正弦级数： - 傅里叶正弦级数为： $f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nx) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \sin(nx)$ 7. 验证收敛性： - 傅里叶级数在 $x \in (0, \pi)$ 上收敛于 $f(x) = \frac{\pi - x}{2}$。在 $x = 0$ 和 $x = \pi$ 处，级数收敛于 $f(x)$ 的平均值，即 $0$。 因此，给定的函数 $f(x) = \frac{\pi - x}{2}$ 在 $[0, \pi]$ 上展开成正弦级数是正确的，答案是 $\boxed{A}$。