题目
在平面直角坐标系中，设overrightarrow(OA)=overrightarrow(a)，overrightarrow(OB)=overrightarrow(b)，overrightarrow(OC)=overrightarrow(c)，且overrightarrow(a)为单位向量，满足overrightarrow(a)•overrightarrow(b)=2，overrightarrow(a)•overrightarrow(c)=(1)/(2)，则下列结论正确的有（ ）A. |overrightarrow(a)|=1B. overrightarrow({c)}^2=(（overrightarrow{a)-overrightarrow(c)）}^2C. 若向量overrightarrow(b)-overrightarrow(a)与overrightarrow(c)-overrightarrow(a)垂直，则|overrightarrow(b)-2overrightarrow(a)+overrightarrow(c)|≥2D. 向量overrightarrow(b)-overrightarrow(a)与overrightarrow(a)的夹角正切值最大为(sqrt(2))/(4)在平面直角坐标系中，设overrightarrow(OA)=overrightarrow(a)，overrightarrow(OB)=overrightarrow(b)，overrightarrow(OC)=overrightarrow(c)，且overrightarrow(a)为单位向量，满足overrightarrow(a)•overrightarrow(b)=2，overrightarrow(a)•overrightarrow(c)=(1)/(2)，则下列结论正确的有（ ）A. |overrightarrow(a)|=1B. overrightarrow({c)}^2=(（overrightarrow{a)-overrightarrow(c)）}^2C. 若向量overrightarrow(b)-overrightarrow(a)与overrightarrow(c)-overrightarrow(a)垂直，则|overrightarrow(b)-2overrightarrow(a)+overrightarrow(c)|≥2D. 向量overrightarrow(b)-overrightarrow(a)与overrightarrow(a)的夹角正切值最大为(sqrt(2))/(4)
在平面直角坐标系中，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$为单位向量，满足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，则下列结论正确的有（ ）
在平面直角坐标系中，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$为单位向量，满足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，则下列结论正确的有（ ）
- A. $|\overrightarrow{a}|=1$
- B. $\overrightarrow{{c}}^{2}={（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}^{2}$
- C. 若向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$垂直，则$|\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|≥2$
- D. 向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$的夹角正切值最大为$\frac{\sqrt{2}}{4}$
在平面直角坐标系中，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$为单位向量，满足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，则下列结论正确的有（ ）
- A. $|\overrightarrow{a}|=1$
- B. $\overrightarrow{{c}}^{2}={（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}^{2}$
- C. 若向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$垂直，则$|\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|≥2$
- D. 向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$的夹角正切值最大为$\frac{\sqrt{2}}{4}$
题目解答
答案
解：在平面直角坐标系中，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$为单位向量，满足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，
对于A，因为$\overrightarrow{a}$为单位向量，
所以$|\overrightarrow{a}|=1$，
故A正确；
对于B，因为$\overrightarrow{a}$为单位向量，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，
所以${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}^{2}=\overrightarrow{{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{{c}}^{2}=1-2×\frac{1}{2}+\overrightarrow{{c}}^{2}=\overrightarrow{{c}}^{2}$，
故B正确；
对于C，设$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}=（m，n）$，$\overrightarrow{c}=（s，t）$，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×m+0×n=m=2$，
则$\overrightarrow{b}=（2，n）$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=1×s+0×t=s=\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{c}=（\frac{1}{2}，t）$，
又$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（1，n），\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=（-\frac{1}{2}，t）$，
则由向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$垂直知：$（1，n）•（-\frac{1}{2}，t）=-\frac{1}{2}+nt=0$，
则$nt=\frac{1}{2}$，
又$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=（\frac{1}{2}，n+t）$，
则$|\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=\sqrt{（n+t）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{t}^{2}+2nt+\frac{1}{4}}$$≥\sqrt{4nt+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$，当且仅当n=t时取等号，
故C错误；
对于D，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（1，n）$，
设向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，
则$cosθ=\frac{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}-\bar{a}||\overrightarrow{a}|}=\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}＞0$，
则$sinθ=\frac{|n|}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
则tanθ=|n|，无最大值，
故D错误．
故选：AB．
解：在平面直角坐标系中，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$为单位向量，满足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，
对于A，因为$\overrightarrow{a}$为单位向量，
所以$|\overrightarrow{a}|=1$，
故A正确；
对于B，因为$\overrightarrow{a}$为单位向量，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，
所以${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}^{2}=\overrightarrow{{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{{c}}^{2}=1-2×\frac{1}{2}+\overrightarrow{{c}}^{2}=\overrightarrow{{c}}^{2}$，
故B正确；
对于C，设$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}=（m，n）$，$\overrightarrow{c}=（s，t）$，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×m+0×n=m=2$，
则$\overrightarrow{b}=（2，n）$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=1×s+0×t=s=\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{c}=（\frac{1}{2}，t）$，
又$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（1，n），\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=（-\frac{1}{2}，t）$，
则由向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$垂直知：$（1，n）•（-\frac{1}{2}，t）=-\frac{1}{2}+nt=0$，
则$nt=\frac{1}{2}$，
又$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=（\frac{1}{2}，n+t）$，
则$|\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=\sqrt{（n+t）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{t}^{2}+2nt+\frac{1}{4}}$$≥\sqrt{4nt+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$，当且仅当n=t时取等号，
故C错误；
对于D，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（1，n）$，
设向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，
则$cosθ=\frac{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}-\bar{a}||\overrightarrow{a}|}=\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}＞0$，
则$sinθ=\frac{|n|}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
则tanθ=|n|，无最大值，
故D错误．
故选：AB．
对于A，因为$\overrightarrow{a}$为单位向量，
所以$|\overrightarrow{a}|=1$，
故A正确；
对于B，因为$\overrightarrow{a}$为单位向量，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，
所以${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}^{2}=\overrightarrow{{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{{c}}^{2}=1-2×\frac{1}{2}+\overrightarrow{{c}}^{2}=\overrightarrow{{c}}^{2}$，
故B正确；
对于C，设$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}=（m，n）$，$\overrightarrow{c}=（s，t）$，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×m+0×n=m=2$，
则$\overrightarrow{b}=（2，n）$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=1×s+0×t=s=\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{c}=（\frac{1}{2}，t）$，
又$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（1，n），\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=（-\frac{1}{2}，t）$，
则由向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$垂直知：$（1，n）•（-\frac{1}{2}，t）=-\frac{1}{2}+nt=0$，
则$nt=\frac{1}{2}$，
又$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=（\frac{1}{2}，n+t）$，
则$|\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=\sqrt{（n+t）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{t}^{2}+2nt+\frac{1}{4}}$$≥\sqrt{4nt+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$，当且仅当n=t时取等号，
故C错误；
对于D，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（1，n）$，
设向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，
则$cosθ=\frac{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}-\bar{a}||\overrightarrow{a}|}=\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}＞0$，
则$sinθ=\frac{|n|}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
则tanθ=|n|，无最大值，
故D错误．
故选：AB．
解：在平面直角坐标系中，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$为单位向量，满足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，
对于A，因为$\overrightarrow{a}$为单位向量，
所以$|\overrightarrow{a}|=1$，
故A正确；
对于B，因为$\overrightarrow{a}$为单位向量，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}$，
所以${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}^{2}=\overrightarrow{{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{{c}}^{2}=1-2×\frac{1}{2}+\overrightarrow{{c}}^{2}=\overrightarrow{{c}}^{2}$，
故B正确；
对于C，设$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}=（m，n）$，$\overrightarrow{c}=（s，t）$，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×m+0×n=m=2$，
则$\overrightarrow{b}=（2，n）$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=1×s+0×t=s=\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{c}=（\frac{1}{2}，t）$，
又$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（1，n），\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=（-\frac{1}{2}，t）$，
则由向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$垂直知：$（1，n）•（-\frac{1}{2}，t）=-\frac{1}{2}+nt=0$，
则$nt=\frac{1}{2}$，
又$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=（\frac{1}{2}，n+t）$，
则$|\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=\sqrt{（n+t）^{2}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{t}^{2}+2nt+\frac{1}{4}}$$≥\sqrt{4nt+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$，当且仅当n=t时取等号，
故C错误；
对于D，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（1，n）$，
设向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，
则$cosθ=\frac{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}-\bar{a}||\overrightarrow{a}|}=\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}＞0$，
则$sinθ=\frac{|n|}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
则tanθ=|n|，无最大值，
故D错误．
故选：AB．