函数f(x)=(x)^2+2x-1在区间[0,2]上应用拉格朗日中值定理时，满足定理要求的xi 值是多少？

本题考察拉格朗日中值定理的应用。拉格朗日中值定理的条件是：函数$f(x)$)在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

步骤1：验证函数满足拉格朗日中值定理条件

函数$f(x)=x^2+2x-1$是多项式函数，多项式函数在整个实数域上连续且可导，因此在闭区间$[0,2]$上连续，在开区间$(0,2)$内可导，满足定理条件。

步骤2：计算$\frac{f(2)-f(0)}{2-0}$

• 先求$f(2)$和$f(0)$：
  $f(2)=2^2+2\times2-1=4+4-1=7$
  $f(0)=0^2+2\times0-1=-1$
• 再计算差商：
  $\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{7-(-1)}{2}=\frac{8}{2}=4$

步骤3：求$f'(\xi)$并解方程$f'(\xi)=4$

对$f(x)$求导：
$f'(x)=2x+2$
令$f'(\xi)=4$：
$2\xi+2=4$
解得：
$2\xi=2\Rightarrow\ \xi=1$

步骤4：验证$\xi\in(0,2)$

$\xi=1$在开区间$(0,2)$内，满足拉格朗日中值定理的要求。