题目
将周长为d;的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体, 问矩形的边长各为多少时, 才可使圆柱体的体积为最大？
将周长为
的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体, 问矩形的边长各为多少时, 才可使圆柱体的体积为最大？
题目解答
答案
解：设矩形的一边为x, 则另一边为
,
假设矩形绕
旋转,
则旋转所成圆柱体的体积为
，由
,
求得唯一驻点
，由于驻点唯一,
由题意又可知这种圆柱体一定有最大值,
所以当矩形的边长为
和
时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大。
解析
步骤 1：定义变量
设矩形的一边长为$x$，则另一边长为$\dfrac{p}{2}-x$，其中$p$是矩形的周长。
步骤 2：建立体积函数
当矩形绕$x$边旋转时，形成的圆柱体的体积$V$为$V=\pi x^2\left(\dfrac{p}{2}-x\right)$。
步骤 3：求导数
对体积函数$V$关于$x$求导，得到$V'=\pi\left(2x\left(\dfrac{p}{2}-x\right)-x^2\right)=\pi\left(px-3x^2\right)$。
步骤 4：求驻点
令$V'=0$，解得$x=\dfrac{p}{3}$。
步骤 5：验证驻点
由于$V''=-6\pi x$，当$x=\dfrac{p}{3}$时，$V''<0$，说明$x=\dfrac{p}{3}$是极大值点。
步骤 6：计算另一边长
当$x=\dfrac{p}{3}$时，另一边长为$\dfrac{p}{2}-\dfrac{p}{3}=\dfrac{p}{6}$。
设矩形的一边长为$x$，则另一边长为$\dfrac{p}{2}-x$，其中$p$是矩形的周长。
步骤 2：建立体积函数
当矩形绕$x$边旋转时，形成的圆柱体的体积$V$为$V=\pi x^2\left(\dfrac{p}{2}-x\right)$。
步骤 3：求导数
对体积函数$V$关于$x$求导，得到$V'=\pi\left(2x\left(\dfrac{p}{2}-x\right)-x^2\right)=\pi\left(px-3x^2\right)$。
步骤 4：求驻点
令$V'=0$，解得$x=\dfrac{p}{3}$。
步骤 5：验证驻点
由于$V''=-6\pi x$，当$x=\dfrac{p}{3}$时，$V''<0$，说明$x=\dfrac{p}{3}$是极大值点。
步骤 6：计算另一边长
当$x=\dfrac{p}{3}$时，另一边长为$\dfrac{p}{2}-\dfrac{p}{3}=\dfrac{p}{6}$。