题目
极限 lim _(x arrow infty) x sin (1)/(x)=
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}=$
题目解答
答案
令 $y = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$y \to 0$。原式变为：
\[
\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}
\]
由经典极限 $\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$，或使用等价无穷小代换 $\sin y \sim y$（当 $y \to 0$ 时），得：
\[
\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1
\]
因此，原极限为 $\boxed{1}$。
解析
本题考查的知识点是函数极限的计算，解题思路是通过变量代换将原式转化为经典极限形式，再利用经典极限的结论或等价无穷小代换来求解。
- 变量代换：
令$y = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，根据反比例函数的性质，$y=\frac{1}{x}$的值会趋近于$0$，即$y \to 0$。
此时$x=\frac{1}{y}$，那么原式$\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}$就变为$\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \sin y$，根据分式的性质可写成$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}$。 - 利用经典极限或等价无穷小求解：
- 经典极限法：
我们知道经典极限$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$，所以$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}=1$。 - 等价无穷小代换法：
当$y \to 0$时，$\sin y$与$y$是等价无穷小，即$\sin y \sim y$。
那么$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}=\lim_{y \to 0} \frac{y}{y}$，对$\frac{y}{y}$进行化简，$\frac{y}{y}=1$（$y\neq0$），所以$\lim_{y \to 0} \frac{y}{y}=\lim_{y \to 0} 1 = 1$。
- 经典极限法：