设sum有向曲面z=sqrt(x^2)+y^(2)(0le zle 1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角，则 iintlimits_(sum)(2x+z)dydz+zdxdy= （ ） A. 0 B. -π C. -2π D. 2π

为了求解曲面积分 $\iint\limits_{\sum}(2x+z)dydz+zdxdy$，其中 $\sum$ 是有向曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$（$0 \le z \le 1$），其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角，我们可以使用高斯公式。高斯公式将曲面积分转换为体积积分，公式为： \[ \iint\limits_{\sum} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 是一个向量场，$\mathbf{n}$ 是曲面的单位法向量，$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ 是向量场的散度，$V$ 是曲面 $\sum$ 所围成的体积。 在给定的问题中，向量场 $\mathbf{F} = (2x+z, 0, z)$。计算 $\mathbf{F}$ 的散度： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2x+z) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 2 + 1 = 3 \] 根据高斯公式，曲面积分可以转换为体积积分： \[ \iint\limits_{\sum} (2x+z) \, dydz + z \, dxdy = \iiint\limits_{V} 3 \, dV \] 体积 $V$ 是由曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $z = 1$ 所围成的区域。这个区域是一个圆锥，其底面半径为 1，高为 1。圆锥的体积 $V$ 为： \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3} \] 因此，体积积分的值为： \[ \iiint\limits_{V} 3 \, dV = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi \] 然而，我们注意到曲面 $\sum$ 是圆锥的侧面积，不包括底面。为了得到正确的曲面积分，我们需要减去底面上的曲面积分。底面 $z = 1$ 的单位法向量为 $\mathbf{n} = (0, 0, -1)$（因为法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角，所以曲面不包括底面，但底面的法向量 pointing 向下）。在底面上，向量场 $\mathbf{F} = (2x+1, 0, 1)$，所以： \[ \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = (2x+1, 0, 1) \cdot (0, 0, -1) = -1 \] 底面的面积 $A$ 为 $\pi \cdot 1^2 = \pi$，所以底面上的曲面积分为： \[ \iint\limits_{\text{底面}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint\limits_{\text{底面}} -1 \, dS = -\pi \] 因此，原曲面积分为： \[ \iint\limits_{\sum} (2x+z) \, dydz + z \, dxdy = \pi - \pi = 0 \] 所以，正确答案是 $\boxed{A}$.