题目

设随机变量X的分布函数为：F(x)=} 0, & xA. 正确B. 错误

设随机变量$X$的分布函数为：$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0, \\ x^2, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$，则$P\left\{-1 < X \leq \frac{3}{4}\right\}=\frac{7}{16}$（ ）。

A. 正确

B. 错误

题目解答

答案

B. 错误

解析

本题考查随机变量分布函数的性质以及利用分布函数计算概率的知识点。解题思路是先明确分布函数的性质，再根据分布函数的性质计算给定区间的概率，最后将计算结果与题目所给结果进行对比。

  1. 明确分布函数的性质：对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$，有$P\{a < X \leq b\} = F(b) - F(a)$。
  2. 计算$P\left\{-1 < X \leq \frac{3}{4}\right\}$的值：
    • 已知$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0, \\ x^2, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$，则$F(\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，$F(-1) = 0$。
    • 根据$P\{a < X \leq b\} = F(b) - F(a)$，可得$P\left\{-1 < X \leq \frac{3}{4}\right\}=F(\frac{3}{4}) - F(-1)=\frac{9}{16}-0=\frac{9}{16}$。
  3. 对比计算结果与题目所给结果：题目中给出$P\left\{-1 < X \leq \frac{3}{4}\right\}=\frac{7}{16}$，而我们计算得到$P\left\{-1 < X \leq \frac{3}{4}\right\}=\frac{9}{16}$，两者不相等。