设向量组 alpha_1 = (1,1,1), alpha_2 = (0,1,2), alpha_3 = (1,0,-1)，那么该向量组的秩为:A. 3B. 1C. 2D. 4

考查要点：本题主要考查向量组的秩的计算，需要判断三个三维向量的线性相关性，确定极大线性无关组的个数。

解题思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为行（或列）构成矩阵。
2. 行简化阶梯形：通过初等行变换化简矩阵，非零行的个数即为秩。
3. 行列式法（辅助方法）：若行列式不为零，则向量组线性无关；若为零，则进一步判断极大无关组的个数。

破题关键：

• 线性相关性的判断：通过矩阵化简或行列式确定向量组是否线性相关。
• 秩的定义：极大线性无关组的个数，需排除冗余向量。

将向量组 $\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(0,1,2)$，$\alpha_3=(1,0,-1)$ 构造矩阵 $A$：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 2 \\1 & 0 & -1\end{pmatrix}$

步骤1：初等行变换化简矩阵

1. 消去第三行第一个元素：用第三行减去第一行：
   $R3 \leftarrow R3 - R1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$
2. 消去第三行第二个元素：用第三行加上第二行：
   $R3 \leftarrow R3 + R2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

步骤2：确定秩
化简后的矩阵有 2个非零行，因此向量组的秩为 2。