题目
6.设α1,α2,α3线性无关, (beta )_(1)=a(alpha )_(1)+b(alpha )_(2) (beta )_(2)=a(alpha )_(2)+b(alpha )_(3) (beta )_(3)=a(alpha )_(3)+b(alpha )_(1) 问-|||-当a,b满足什么条件时,β1,β2,β3是线性无关的?
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
根据题目条件，我们有向量 ${\beta }_{1}=a{\alpha }_{1}+b{\alpha }_{2}$ ,${\beta }_{2}=a{\alpha }_{2}+b{\alpha }_{3}$ ,${\beta }_{3}=a{\alpha }_{3}+b{\alpha }_{1}$。可以构造一个矩阵，其列向量为 ${\beta }_{1}$, ${\beta }_{2}$, ${\beta }_{3}$，即：
$$
\begin{pmatrix}
a & b & 0 \\
0 & a & b \\
b & 0 & a
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
为了判断 ${\beta }_{1}$, ${\beta }_{2}$, ${\beta }_{3}$ 是否线性无关，我们需要计算上述矩阵的行列式。如果行列式不为零，则 ${\beta }_{1}$, ${\beta }_{2}$, ${\beta }_{3}$ 线性无关。
$$
\left |\begin{matrix} a& b& 0\\ 0& a& b\\ b& 0& a\end{matrix} \right | = a^3 + b^3
$$
步骤 3：判断条件
根据行列式的计算结果，当 $a^3 + b^3 \neq 0$ 时，${\beta }_{1}$, ${\beta }_{2}$, ${\beta }_{3}$ 线性无关。即 $a \neq -b$。
根据题目条件，我们有向量 ${\beta }_{1}=a{\alpha }_{1}+b{\alpha }_{2}$ ,${\beta }_{2}=a{\alpha }_{2}+b{\alpha }_{3}$ ,${\beta }_{3}=a{\alpha }_{3}+b{\alpha }_{1}$。可以构造一个矩阵，其列向量为 ${\beta }_{1}$, ${\beta }_{2}$, ${\beta }_{3}$，即：
$$
\begin{pmatrix}
a & b & 0 \\
0 & a & b \\
b & 0 & a
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
为了判断 ${\beta }_{1}$, ${\beta }_{2}$, ${\beta }_{3}$ 是否线性无关，我们需要计算上述矩阵的行列式。如果行列式不为零，则 ${\beta }_{1}$, ${\beta }_{2}$, ${\beta }_{3}$ 线性无关。
$$
\left |\begin{matrix} a& b& 0\\ 0& a& b\\ b& 0& a\end{matrix} \right | = a^3 + b^3
$$
步骤 3：判断条件
根据行列式的计算结果，当 $a^3 + b^3 \neq 0$ 时，${\beta }_{1}$, ${\beta }_{2}$, ${\beta }_{3}$ 线性无关。即 $a \neq -b$。