题目
(2)设随机变量X的概率密度为-|||-,-|||-f(x)= ) (e)^-x,xgt 0 0, 的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定变换函数
给定 $Y = X^2$，我们需要找到 $X$ 关于 $Y$ 的反函数。由于 $X > 0$，我们有 $X = \sqrt{Y}$。
步骤 2：计算雅可比行列式
雅可比行列式 $J$ 是 $X$ 关于 $Y$ 的导数的绝对值，即 $J = \left| \frac{dX}{dY} \right| = \left| \frac{d}{dY} \sqrt{Y} \right| = \left| \frac{1}{2\sqrt{Y}} \right| = \frac{1}{2\sqrt{Y}}$。
步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度
根据概率密度函数的变换公式，$Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的概率密度 $f_X(x)$ 和雅可比行列式 $J$ 来计算。具体地，$f_Y(y) = f_X(x) \cdot J$。将 $X = \sqrt{Y}$ 和 $J = \frac{1}{2\sqrt{Y}}$ 代入，我们得到 $f_Y(y) = e^{-\sqrt{Y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{Y}}$。
给定 $Y = X^2$，我们需要找到 $X$ 关于 $Y$ 的反函数。由于 $X > 0$，我们有 $X = \sqrt{Y}$。
步骤 2：计算雅可比行列式
雅可比行列式 $J$ 是 $X$ 关于 $Y$ 的导数的绝对值，即 $J = \left| \frac{dX}{dY} \right| = \left| \frac{d}{dY} \sqrt{Y} \right| = \left| \frac{1}{2\sqrt{Y}} \right| = \frac{1}{2\sqrt{Y}}$。
步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度
根据概率密度函数的变换公式，$Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的概率密度 $f_X(x)$ 和雅可比行列式 $J$ 来计算。具体地，$f_Y(y) = f_X(x) \cdot J$。将 $X = \sqrt{Y}$ 和 $J = \frac{1}{2\sqrt{Y}}$ 代入，我们得到 $f_Y(y) = e^{-\sqrt{Y}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{Y}}$。