当 a 取何值时，线性方程组[}x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 x_2 + x_3 + x_4 = 1 3x_1 + 2x_2 + x_3 + ax_4 = -1 -x_1 + (a-2)x_2 = 0](1) 有唯一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解。在有无穷多解时求出其通解。

对系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A}$ 进行初等行变换，得
$\bar{A} \sim \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 0 & -1 & a-2 & 0 \\0 & 0 & 0 & a-2 & -1\end{pmatrix}$
情况分析：

1. 当 $a \neq 2$ 时，
   $\text{rank}(A) = \text{rank}(\bar{A}) = 4$，方程组有唯一解。

2. 当 $a = 2$ 时，
   $\bar{A} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，
   $\text{rank}(A) = 3$，$\text{rank}(\bar{A}) = 4$，方程组无解。

结论：
$\boxed{\begin{array}{ll}\text{当 } a \neq 2 \text{ 时，方程组有唯一解；} \\\text{当 } a = 2 \text{ 时，方程组无解。}\end{array}}$
（注：方程组无有无穷多解的情况。）