当 a 取何值时，线性方程组[}x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 x_2 + x_3 + x_4 = 1 3x_1 + 2x_2 + x_3 + ax_4 = -1 -x_1 + (a-2)x_2 = 0](1) 有唯一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解。在有无穷多解时求出其通解。

本题考查线性方程组解的判定以及求解，解题思路是先对增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，然后根据系数矩阵和增广矩阵的秩的关系来判断方程组解的情况，最后在有无穷多解时求出通解。

1. 首先写出增广矩阵$\bar{A}$：
   已知线性方程组$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\3x_1 + 2x_2 + x_3 + ax_4 = -1 \\-x_1 + (a - 2)x_2 = 0\end{cases}$，其增广矩阵$\bar{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&1&1&1\\3&2&1&a&-1\\-1&a - 2&0&0&0\end{pmatrix}$。
2. 对增广矩阵$\bar{A}$进行初等行变换：
   • 第三行减去第一行的$3$倍，第四行加上第一行，可得$\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&1&1&1\\0&-1&-2&a - 3&-1\\0&a - 1&1&1&0\end{pmatrix}$。
   • 第三行加上第二行，第四行减去第二行的$(a - 1)$倍，得到$\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&1&1&1\\0&0&-1&a - 2&0\\0&0&-a + 2&-a + 2&-(a - 1)\end{pmatrix}$。
   • 第四行加上第三行的$(a - 2)$倍，最终化为$\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&1&1&1\\0&0&-1&a - 2&0\\0&0&0&a - 2&-1\end{pmatrix}$。
3. 根据行阶梯形矩阵判断解的情况：
   • 有唯一解的情况：
     当$a\neq 2$时，系数矩阵$A$和增广矩阵$\bar{A}$的秩都为$4$，即$\text{rank}(A)=\text{rank}(\bar{A}) = 4$，根据线性方程组解的判定定理，当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数时，方程组有唯一解。
   • 无解的情况：
     当$a = 2$时，增广矩阵进一步化为$\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\0&1&1&1&1\\0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1\end{pmatrix}$，此时$\text{rank}(A) = 3$，$\text{rank}(\bar{A}) = 4$，因为$\text{rank}(A)\neq\text{rank}(\bar{A})$，根据线性方程组解的判定定理，方程组无解。
   • 有无穷多解的情况：
     由于无论$a$取何值，都不会出现$\text{rank}(A)=\text{rank}(\bar{A})\lt 4$的情况，所以方程组无有无穷多解的情况。