求下列函数的极值:(1) =(x)^2-2x+3 ;-|||-(2) =2(x)^3-3(x)^2 ;-|||-(3) =2(x)^3-6(x)^2-18x+ .-|||-(4) =x-ln (1+x) ;-|||-(5) =-(x)^4+2(x)^2 ;-|||-(6) =x+sqrt (1-x) ;-|||-(7) =dfrac (1+3x)(sqrt {4+5{x)^2}} ;-|||-(8)y =-2 ,;(1) =(x)^2-2x+3 ;-|||-(2) =2(x)^3-3(x)^2 ;-|||-(3) =2(x)^3-6(x)^2-18x+ .-|||-(4) =x-ln (1+x) ;-|||-(5) =-(x)^4+2(x)^2 ;-|||-(6) =x+sqrt (1-x) ;-|||-(7) =dfrac (1+3x)(sqrt {4+5{x)^2}} ;-|||-(8)y =-2 ,;

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，包括一阶导数求驻点、二阶导数判断极值以及利用单调性变化判断极值的能力。需要特别注意函数的定义域和不可导点对极值的影响。

解题思路：

1. 求一阶导数，找到驻点（导数为0的点）和不可导点；
2. 判断极值点：通过二阶导数符号或函数在驻点附近单调性变化确定极大值或极小值；
3. 代入计算极值的具体数值；
4. 注意定义域限制，排除不在定义域内的点。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$

求导与驻点

$y' = 2x - 2$，令$y' = 0$得$x = 1$。

二阶导数检验

$y'' = 2 > 0$，故$x=1$为极小值点，极小值$y(1) = 2$。

(2) $y = 2x^3 - 3x^2$

求导与驻点

$y' = 6x^2 - 6x$，解$6x(x-1)=0$得$x=0$或$x=1$。

二阶导数检验

$y'' = 12x - 6$：

• $x=0$时，$y'' = -6 < 0$，极大值$y(0)=0$；
• $x=1$时，$y'' = 6 > 0$，极小值$y(1)=-1$。

(3) $y = x - \ln(1+x)$

求导与驻点

$y' = 1 - \frac{1}{1+x}$，令$y'=0$得$x=0$。

二阶导数检验

$y'' = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$，故$x=0$为极小值点，极小值$y(0)=0$。

(4) $y = -x^4 + 2x^2$

求导与驻点

$y' = -4x^3 + 4x = 4x(1 - x^2)$，解得$x=-1,0,1$。

二阶导数检验

$y'' = -12x^2 + 4$：

• $x=-1$和$x=1$时，$y'' = -8 < 0$，极大值$y(\pm1)=1$；
• $x=0$时，$y'' = 4 > 0$，极小值$y(0)=0$。

(5) $y = x + \sqrt{1-x}$

定义域与导数

定义域$x \leq 1$，$y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$。

单调性分析

令$y'=0$得$x=\frac{3}{4}$，当$x < \frac{3}{4}$时$y' > 0$，$x > \frac{3}{4}$时$y' < 0$，故$x=\frac{3}{4}$为极大值点，极大值$y\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{5}{4}$。