题目
[题目]一质点自原点开始沿抛物线 =(x)^2 运动,-|||-它在Ox轴上的分速度为一恒量,其值为 _(x)=4.0m/s-|||-则质点位于 x=2.0m 的速度 v= 加速度 a=
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定质点的运动方程
质点沿抛物线 $2y={x}^{2}$ 运动，且在Ox轴上的分速度为一恒量 ${v}_{x}=4.0m/s$。因此，质点的运动方程为 $x=4t$，其中 $t$ 为时间。
步骤 2：求解质点在 $x=2.0m$ 时的时间
将 $x=2.0m$ 代入运动方程 $x=4t$，得到 $2=4t$，解得 $t=0.5s$。
步骤 3：求解质点在 $x=2.0m$ 时的 $y$ 坐标
将 $t=0.5s$ 代入运动方程 $x=4t$，得到 $x=2.0m$。将 $x=2.0m$ 代入抛物线方程 $2y={x}^{2}$，得到 $2y=4$，解得 $y=2m$。
步骤 4：求解质点在 $x=2.0m$ 时的 $y$ 方向的速度
对抛物线方程 $2y={x}^{2}$ 求导，得到 $2\frac{dy}{dt}=2x\frac{dx}{dt}$，即 $\frac{dy}{dt}=x\frac{dx}{dt}$。将 $x=2.0m$ 和 ${v}_{x}=4.0m/s$ 代入，得到 $\frac{dy}{dt}=2\times4=8m/s$。因此，质点在 $x=2.0m$ 时的 $y$ 方向的速度为 ${v}_{y}=8m/s$。
步骤 5：求解质点在 $x=2.0m$ 时的速度
质点在 $x=2.0m$ 时的速度为 $u=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}m/s$。
步骤 6：求解质点在 $x=2.0m$ 时的加速度
对抛物线方程 $2y={x}^{2}$ 求二阶导，得到 $2\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}=2\frac{d}{dt}(x\frac{dx}{dt})=2(\frac{dx}{dt}\frac{dx}{dt}+x\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}})$，即 $\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}=\frac{dx}{dt}\frac{dx}{dt}+x\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}}$。由于 ${v}_{x}=4.0m/s$ 为一恒量，因此 $\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}}=0$。将 $x=2.0m$ 和 ${v}_{x}=4.0m/s$ 代入，得到 $\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}=4\times4=16m/{s}^{2}$。因此，质点在 $x=2.0m$ 时的加速度为 $a=16m/{s}^{2}$。
质点沿抛物线 $2y={x}^{2}$ 运动，且在Ox轴上的分速度为一恒量 ${v}_{x}=4.0m/s$。因此，质点的运动方程为 $x=4t$，其中 $t$ 为时间。
步骤 2：求解质点在 $x=2.0m$ 时的时间
将 $x=2.0m$ 代入运动方程 $x=4t$，得到 $2=4t$，解得 $t=0.5s$。
步骤 3：求解质点在 $x=2.0m$ 时的 $y$ 坐标
将 $t=0.5s$ 代入运动方程 $x=4t$，得到 $x=2.0m$。将 $x=2.0m$ 代入抛物线方程 $2y={x}^{2}$，得到 $2y=4$，解得 $y=2m$。
步骤 4：求解质点在 $x=2.0m$ 时的 $y$ 方向的速度
对抛物线方程 $2y={x}^{2}$ 求导，得到 $2\frac{dy}{dt}=2x\frac{dx}{dt}$，即 $\frac{dy}{dt}=x\frac{dx}{dt}$。将 $x=2.0m$ 和 ${v}_{x}=4.0m/s$ 代入，得到 $\frac{dy}{dt}=2\times4=8m/s$。因此，质点在 $x=2.0m$ 时的 $y$ 方向的速度为 ${v}_{y}=8m/s$。
步骤 5：求解质点在 $x=2.0m$ 时的速度
质点在 $x=2.0m$ 时的速度为 $u=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}m/s$。
步骤 6：求解质点在 $x=2.0m$ 时的加速度
对抛物线方程 $2y={x}^{2}$ 求二阶导，得到 $2\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}=2\frac{d}{dt}(x\frac{dx}{dt})=2(\frac{dx}{dt}\frac{dx}{dt}+x\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}})$，即 $\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}=\frac{dx}{dt}\frac{dx}{dt}+x\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}}$。由于 ${v}_{x}=4.0m/s$ 为一恒量，因此 $\frac{{d}^{2}x}{d{t}^{2}}=0$。将 $x=2.0m$ 和 ${v}_{x}=4.0m/s$ 代入，得到 $\frac{{d}^{2}y}{d{t}^{2}}=4\times4=16m/{s}^{2}$。因此，质点在 $x=2.0m$ 时的加速度为 $a=16m/{s}^{2}$。