某弹簧不遵守胡克定律.设施力F,相应伸长为x,力与伸长的关系为 F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时,外力所需做的功．(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上,一端固定,另一端系一个质量为2.17 kg的物体,然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m,再将物体由静止释放,求当弹簧回到x1＝0.50 m时,物体的速率．(3)此弹簧的弹力是保守力吗?
(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时,外力所需做的功．
(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上,一端固定,另一端系一个质量为2.17 kg的物体,然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m,再将物体由静止释放,求当弹簧回到x1＝0.50 m时,物体的速率．
(3)此弹簧的弹力是保守力吗?
题目解答
答案
（1）由题意 得外力做的功是
W＝∫ F dX ,X 的积分区间是从 X1＝0.5米到 X2＝1米
即 W＝∫ （52.8 * X＋38.4 * X^2）dX
＝26.4* X^2＋12.8 * X^3
将X的积分区间代入上式,得所求的功是
W＝（26.4* 1^2＋12.8 * 1^3）－（26.4* 0.5^2＋12.8 * 0.5^3）
＝31 焦耳
（2）由于在第二问的过程中,物体只有水平的弹簧拉力做功,竖直方向的重力与支持力不做功,由动能定理得
W＝（m* V^2 / 2）－0
31＝2.17 * V^2 / 2
得所求的速度是 V＝5.345 m/s
（3）此弹簧的弹力是保守力,因为弹力做功的特点是只与弹簧的伸长有关.
解析
- 第一问考查变力做功的计算。关键思路是通过积分计算外力对弹簧从$x_1$到$x_2$拉伸过程中所做的功，积分函数为$F(x)=52.8x+38.4x^2$。
- 第二问应用动能定理求物体速率。核心要点是弹簧的弹性势能转化为物体的动能，需注意功与能量转化的关系。
- 第三问判断弹力是否为保守力。破题关键在于分析弹力做功是否与路径无关，仅由初末位置决定。
第（1）题
确定积分表达式
外力做功为力在位移上的积分：
$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx = \int_{0.5}^{1} (52.8x + 38.4x^2) \, dx$
分项积分
分别对两项积分：
- $\int 52.8x \, dx = 26.4x^2$
- $\int 38.4x^2 \, dx = 12.8x^3$
代入上下限
$W = \left[26.4x^2 + 12.8x^3\right]_{0.5}^{1} = (26.4 \cdot 1^2 + 12.8 \cdot 1^3) - (26.4 \cdot 0.5^2 + 12.8 \cdot 0.5^3)$
计算结果
$W = (26.4 + 12.8) - (6.6 + 1.6) = 39.2 - 8.2 = 31 \, \text{J}$
第（2）题
应用动能定理
弹簧的弹性势能转化为物体的动能：
$W = \frac{1}{2}mv^2$
代入已知条件
已知$W=31 \, \text{J}$，$m=2.17 \, \text{kg}$，解得：
$v = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 31}{2.17}} \approx 5.345 \, \text{m/s}$
第（3）题
判断保守力
弹力做功仅与初末位置相关，与路径无关，因此是保守力。