.2-25 质量为m的摩托车在恒定的牵引力F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的-|||-二次方成正比,它能达到的最大速率是vm.试计算摩托车从静止加速到 _(m)/2 所需的时间以及-|||-所经过的路程.

考查要点：本题主要考查变力作用下的运动问题，涉及微分方程的建立与求解，以及积分计算路程的方法。关键在于正确建立速度与时间的关系，并通过变量分离法求解微分方程。

解题核心思路：

1. 确定阻力表达式：利用最大速度条件求出阻力与速度平方的比例系数。
2. 建立微分方程：根据牛顿第二定律，结合变力表达式，得到速度关于时间的微分方程。
3. 分离变量积分：通过变量分离法求解微分方程，得到时间与速度的关系。
4. 计算路程：通过速度对时间的积分，或利用速度与加速度的关系间接求路程。

破题关键点：

• 最大速度条件：当牵引力等于阻力时速度达到最大值，由此确定比例系数。
• 积分技巧：对分母为二次式的情况，通过代数变形或部分分式法简化积分。

1. 确定阻力系数

当摩托车达到最大速度$v_m$时，牵引力等于阻力，即：
$F = k v_m^2 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{F}{v_m^2}$

2. 建立微分方程

根据牛顿第二定律，加速度为：
$a = \frac{F - k v^2}{m} = \frac{dv}{dt}$
分离变量得：
$dt = \frac{m}{F - k v^2} dv$

3. 积分求时间

将$k = \frac{F}{v_m^2}$代入，积分从$v=0$到$v=\frac{v_m}{2}$：
$t = \int_0^{v_m/2} \frac{m}{F - \frac{F}{v_m^2} v^2} dv = \frac{m}{F} \int_0^{v_m/2} \frac{v_m^2}{v_m^2 - v^2} dv$
令$u = \frac{v}{v_m}$，则$v = u v_m$，积分变为：
$t = \frac{m}{F} \int_0^{1/2} \frac{1}{1 - u^2} v_m du = \frac{m v_m}{F} \cdot \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + u}{1 - u} \right) \Big|_0^{1/2}$
计算得：
$t = \frac{m v_m}{2F} \ln 3$

4. 积分求路程

路程可通过速度对时间的积分得到，但更简便的方法是利用速度与加速度的关系：
$x = \int_0^{v_m/2} \frac{v}{a} dv = \int_0^{v_m/2} \frac{m v}{F - k v^2} dv$
代入$k = \frac{F}{v_m^2}$，积分得：
$x = \frac{m}{F} \int_0^{v_m/2} \frac{v_m^2 v}{v_m^2 - v^2} dv = \frac{m v_m^2}{2F} \ln \left( \frac{4}{3} \right)$