题目
求不定积分int dfrac (1)(2x)sqrt (ln x)dx=（）.int dfrac (1)(2x)sqrt (ln x)dx=int dfrac (1)(2x)sqrt (ln x)dx=int dfrac (1)(2x)sqrt (ln x)dx=int dfrac (1)(2x)sqrt (ln x)dx=
求不定积分
（）.
题目解答
答案
因为微分
，故可得
，令
，因此
，而
，故可得
，所以答案选择
选项。
解析
步骤 1：换元
令$u=\ln x$，则$du=\dfrac{1}{x}dx$，因此原积分可以写为$\int \dfrac{1}{2x}\sqrt{\ln x}dx=\int \dfrac{1}{2}\sqrt{u}du$。
步骤 2：积分
根据积分公式$\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$，其中$n\neq -1$，可以得到$\int \dfrac{1}{2}\sqrt{u}du=\dfrac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=\dfrac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$。
步骤 3：回代
将$u=\ln x$代回，得到$\dfrac{1}{3}(\ln x)^{\frac{3}{2}}+C$。
令$u=\ln x$，则$du=\dfrac{1}{x}dx$，因此原积分可以写为$\int \dfrac{1}{2x}\sqrt{\ln x}dx=\int \dfrac{1}{2}\sqrt{u}du$。
步骤 2：积分
根据积分公式$\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$，其中$n\neq -1$，可以得到$\int \dfrac{1}{2}\sqrt{u}du=\dfrac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=\dfrac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$。
步骤 3：回代
将$u=\ln x$代回，得到$\dfrac{1}{3}(\ln x)^{\frac{3}{2}}+C$。