11. (判断题) 对于二阶常系数齐次线性微分方程 y'' + py' + qy = 0，若其特征方程有一对共轭复根 r = alpha pm ibeta，则方程的通解为 y = e^alpha x(C_1 cos beta x + C_2 sin beta x)（C_1, C_2 为任意常数）。A. 对B. 错

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解求解，解题思路是根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根与通解的关系来判断该命题的正确性。

1. 对于二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + py' + qy = 0$，其特征方程为 $r^{2}+pr + q = 0$。
2. 当特征方程有一对共轭复根 $r=\alpha\pm i\beta$ 时，根据欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$，可以得到方程的两个线性无关的解：
   • 设 $y_1 = e^{(\alpha + i\beta)x}=e^{\alpha x}e^{i\beta x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x)$；
   • 设 $y_2 = e^{(\alpha - i\beta)x}=e^{\alpha x}e^{-i\beta x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x - i\sin\beta x)$。
3. 由线性微分方程解的性质，对于二阶线性齐次微分方程，若 $y_1$ 和 $y_2$ 是它的两个线性无关的解，那么它的通解 $y = C_1y_1 + C_2y_2$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。
   • 把 $y_1$ 和 $y_2$ 代入通解公式可得：
     • $y = C_1e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x)+C_2e^{\alpha x}(\cos\beta x - i\sin\beta x)$。
     • 对上式进行整理：
       • $y = e^{\alpha x}[(C_1 + C_2)\cos\beta x + i(C_1 - C_2)\sin\beta x]$。
       • 令 $C_3 = C_1 + C_2$，$C_4 = i(C_1 - C_2)$，由于 $C_1,C_2$ 是任意常数，所以 $C_3,C_4$ 也是任意常数，通解可写成 $y = e^{\alpha x}(C_3\cos\beta x + C_4\sin\beta x)$，通常习惯用 $C_1,C_2$ 表示任意常数，即 $y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$。