题目

设 f(x, y) 在有界光滑曲线 L 上连续，L 关于 x 轴对称，则有()。A. 若 f(x, y)= f(-x, y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0。B. 若 f(x, y)= f(x, -y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0。C. 若 f(x, y)= -f(x, -y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0。D. 若 f(x, y)= -f(-x, y) 则 int_(L) f(x, y), ds = 0。

设 $f(x, y)$ 在有界光滑曲线 $L$ 上连续，$L$ 关于 $x$ 轴对称，则有()。

A. 若 $f(x, y)= f(-x, y)$ 则 $\int_{L} f(x, y)\, ds = 0$。

B. 若 $f(x, y)= f(x, -y)$ 则 $\int_{L} f(x, y)\, ds = 0$。

C. 若 $f(x, y)= -f(x, -y)$ 则 $\int_{L} f(x, y)\, ds = 0$。

D. 若 $f(x, y)= -f(-x, y)$ 则 $\int_{L} f(x, y)\, ds = 0$。

题目解答

答案

C. 若 $f(x, y)= -f(x, -y)$ 则 $\int_{L} f(x, y)\, ds = 0$。

解析

本题考查对弧长的曲线积分的性质，解题思路是利用曲线$L$关于$x$轴对称的性质，将曲线积分$\int_{L} f(x, y)\, ds$进行拆分，再结合被积函数的奇偶性来判断积分值是否为$0$。

设曲线$L = L_1 + L_2$，其中$L_1$是$L$在$x$轴上方的部分，$L_2$是$L$在$x$轴下方的部分，且$L_1$与$L_2$关于$x$轴对称。

对于曲线积分$\int_{L} f(x, y)\, ds$，根据曲线积分的可加性，有$\int_{L} f(x, y)\, ds = \int_{L_1} f(x, y)\, ds + \int_{L_2} f(x, y)\, ds$。

在$L_2$上，设点$(x,y)$在$L_2$上，则其关于$x$轴的对称点$(x,-y)$在$L_1$上，且弧长元素$ds$在对称点处是相等的，即$ds$在$L_1$和$L_2$上是相同的。

那么$\int_{L_2} f(x, y)\, ds$，令$y=-t$，则$dy=-dt$，当$y$从$L_2$的一端变化到另一端时，$t$从$L_1$的一端变化到另一端，此时$\int_{L_2} f(x, y)\, ds = \int_{L_1} f(x, -y)\, ds$。

所以$\int_{L} f(x, y)\, ds = \int_{L_1} f(x, y)\, ds + \int_{L_1} f(x, -y)\, ds=\int_{L_1} [f(x, y)+f(x, -y)]\, ds$。

接下来分析各个选项：

  • 选项A：若$f(x, y)= f(-x, y)$，这是关于$x$的偶函数性质，与曲线$L$关于$x$轴对称时$\int_{L} f(x, y)\, ds$的计算无关，不能得出$\int_{L} f(x, y)\, ds = 0$。
  • 选项B：若$f(x, y)= f(x, -y)$，则$\int_{L} f(x, y)\, ds=\int_{L_1} [f(x, y)+f(x, -y)]\, ds = 2\int_{L_1} f(x, y)\, ds\neq 0$。
  • 选项C：若$f(x, y)= -f(x, -y)$，则$f(x, y)+f(x, -y)=0$，所以$\int_{L} f(x, y)\, ds=\int_{L_1} [f(x, y)+f(x, -y)]\, ds = \int_{L_1} 0\cdot ds = 0$。
  • 选项D：若$f(x, y)= -f(-x, y)$，这是关于$x$的奇函数性质，与曲线$L$关于$x$轴对称时$\int_{L} f(x, y)\, ds$的计算无关，不能得出$\int_{L} f(x, y)\, ds = 0$。