[5.1]设离散型随机变量X的分布律为: X=k =b(lambda )^k , (k=1,2,3,... ) 且 gt 0,-|||-则λ为 ()-|||-(A) lambda gt 0 的任意实数 (B) lambda =b+1 (C) lambda =dfrac (1)(1+b) (D) lambda =dfrac (1)(b-1)

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的性质，即所有可能取值的概率之和为1，以及等比数列求和公式的应用。

解题核心思路：

1. 分布律归一性：根据概率分布的性质，所有概率之和必须等于1，即$\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = 1$。
2. 等比数列求和：将题目中的概率表达式转化为等比数列求和形式，利用公比$|\lambda| < 1$的条件求和。
3. 解方程求$\lambda$：通过等比数列和为1的方程，解出$\lambda$的表达式，并验证其合理性。

破题关键点：

• 识别等比数列结构：概率表达式$b\lambda^k$是首项为$b\lambda$、公比为$\lambda$的等比数列。
• 收敛条件：公比$|\lambda| < 1$是级数收敛的前提，结合$b > 0$进一步限定$\lambda$的范围。

根据分布律的归一性条件，所有概率之和为1：

$\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} b\lambda^k = 1.$

步骤1：等比数列求和
该级数是首项为$b\lambda$、公比为$\lambda$的等比数列。当$|\lambda| < 1$时，其和为：

$\sum_{k=1}^{\infty} b\lambda^k = b\lambda \cdot \frac{1}{1 - \lambda} = \frac{b\lambda}{1 - \lambda}.$

步骤2：建立方程并求解
根据归一性条件，令和等于1：

$\frac{b\lambda}{1 - \lambda} = 1.$

解方程：

1. 两边同乘$(1 - \lambda)$：
   $b\lambda = 1 - \lambda.$
2. 移项整理：
   $b\lambda + \lambda = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda(b + 1) = 1.$
3. 解得：
   $\lambda = \frac{1}{b + 1}.$

步骤3：验证合理性

• 由于$b > 0$，分母$b + 1 > 1$，因此$\lambda = \frac{1}{b + 1} < 1$，满足收敛条件。
• $\lambda > 0$（概率非负），符合题意。