题目

已知=(e)^tsin t-|||-=(e)^tcos t ,求当 =dfrac (pi )(3) 时 dfrac (dy)(dx) 的值

已知 $\left\{\begin{matrix}x= e^{t}sint \\y=e^{t}cost\end{matrix}\right.，求当t=\frac{\pi }{3} 时\frac{dy}{dx} 的值$

题目解答

答案

可以通过对x和y对t的导数进行计算：

$\frac{dx}{dt}=e^t\sin(t)+e^t\cos(t)$

$\frac{dy}{dt}=e^t\cos(t)-e^t\sin(t)$

然后利用链式求导法则，我们可以得到 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式：

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

将 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$ 的表达式代入，我们可以得到：

$\frac{dy}{dx} =\frac{e^t cos(t) - e^t sin(t)}{e^t sin(t) + e^t cos(t)}$

最后，将t替换为 $\frac{\pi }{3}$ ，计算出 $\frac{dy}{dx}$ 的值： $\frac{dy}{dx}=\sqrt{3}-2$

解析

考查要点：本题主要考查参数方程的导数计算，涉及链式法则的应用以及三角函数的求导规则。

解题核心思路：

参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，导数$\dfrac{dy}{dx}$可通过$\dfrac{dy}{dt} \div \dfrac{dx}{dt}$计算。
乘积法则：对$x = e^t \sin t$和$y = e^t \cos t$分别求导时，需应用乘积法则。
代入化简：将$t = \dfrac{\pi}{3}$代入后，需结合三角函数值进行化简，注意分母有理化的技巧。

步骤1：求$\dfrac{dx}{dt}$和$\dfrac{dy}{dt}$

对$x$求导：
$\begin{aligned}\dfrac{dx}{dt} &= \dfrac{d}{dt} \left( e^t \sin t \right) \\&= e^t \sin t + e^t \cos t \quad \text{（乘积法则）} \\&= e^t (\sin t + \cos t)\end{aligned}$

对$y$求导：
$\begin{aligned}\dfrac{dy}{dt} &= \dfrac{d}{dt} \left( e^t \cos t \right) \\&= e^t \cos t - e^t \sin t \quad \text{（乘积法则）} \\&= e^t (\cos t - \sin t)\end{aligned}$

步骤2：计算$\dfrac{dy}{dx}$

根据链式法则：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{e^t (\cos t - \sin t)}{e^t (\sin t + \cos t)} = \dfrac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t}$

步骤3：代入$t = \dfrac{\pi}{3}$

计算三角函数值：
$\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

代入并化简：
$\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}} \\&= \dfrac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \quad \text{（分子分母同乘2）} \\&= \dfrac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \quad \text{（分母有理化）} \\&= \dfrac{2\sqrt{3} - 4}{2} \quad \text{（展开后化简）} \\&= \sqrt{3} - 2\end{aligned}$