求点P(2,3,-1)到直线 ) 2x-2y+z+3=0 3x-2y+2z+17=0 .的距离.

步骤 1：确定直线的方向向量
首先，我们确定直线的方向向量。直线由两个平面方程给出，我们可以通过计算这两个平面的法向量的叉积来得到直线的方向向量。平面$2x-2y+z+3=0$的法向量为$\vec{n_1}=(2,-2,1)$，平面$3x-2y+2z+17=0$的法向量为$\vec{n_2}=(3,-2,2)$。因此，直线的方向向量$\vec{d}$为$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$。
步骤 2：计算方向向量
计算$\vec{d}=\vec{n_1} \times \vec{n_2}=(2,-2,1) \times (3,-2,2)$，得到$\vec{d}=(2 \times 2 - (-2) \times 1, 1 \times 3 - 2 \times 2, 2 \times (-2) - (-2) \times 3) = (6, -1, 2)$。
步骤 3：确定直线上一点
为了计算点P到直线的距离，我们需要直线上的一点。通过解方程组$\left \{ \begin{matrix} 2x-2y+z+3=0\\ 3x-2y+2z+17=0\end{matrix} \right.$，我们可以找到直线上的一点。这里，我们直接给出一个解${P}_{0}(1,-5,-15)$。
步骤 4：计算向量$\overrightarrow {P{P}_{0}}$
向量$\overrightarrow {P{P}_{0}}$是从点P到点${P}_{0}$的向量，即$\overrightarrow {P{P}_{0}}=(1-2,-5-3,-15-(-1))=(-1,-8,-14)$。
步骤 5：计算点P到直线的距离
点P到直线的距离可以通过向量$\overrightarrow {P{P}_{0}}$在直线方向向量$\vec{d}$上的投影的长度来计算。首先，计算$\overrightarrow {P{P}_{0}}$与$\vec{d}$的点积，然后除以$\vec{d}$的模长，得到投影长度。最后，用$\overrightarrow {P{P}_{0}}$的模长平方减去投影长度的平方，再开方，得到点P到直线的距离。
步骤 6：计算距离
$\overrightarrow {P{P}_{0}} \cdot \vec{d} = (-1) \times 6 + (-8) \times (-1) + (-14) \times 2 = -6 + 8 - 28 = -26$，$\vec{d}$的模长为$\sqrt{6^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 1 + 4} = \sqrt{41}$，投影长度为$\frac{-26}{\sqrt{41}}$，$\overrightarrow {P{P}_{0}}$的模长为$\sqrt{(-1)^2 + (-8)^2 + (-14)^2} = \sqrt{1 + 64 + 196} = \sqrt{261}$，点P到直线的距离为$\sqrt{261 - \left(\frac{-26}{\sqrt{41}}\right)^2} = \sqrt{261 - \frac{676}{41}} = \sqrt{261 - 16.4878} = \sqrt{244.5122} \approx 15$。