题目
微分方程''+4y'=2x(e)^x 的特解可设为 ''+4y'=2x(e)^x
微分方程
的特解可设为 
题目解答
答案
这里，我们需要熟悉二阶常系数非齐次方程的非齐次项与特解的关系：
设有二阶常系数非齐次方程:
如果非齐次项
属于指数型，在特解里也要用相同的指数函数。
设
，若
不是特征方程的特征根，特解为
若是特征方程的一个特征根，特解为
;若a是特征方程的二重特征根，特解为
由题意，知
非齐次方程
其对应的齐次微分方程为
先求齐次微分方程的特征根：
∴特征方程为
即
解得特征根为
设非齐次项
∵
不是方程的特征根
∴该非齐次微分方程的特解形式可设为
解析
步骤 1：确定齐次方程的特征方程
给定微分方程为$y''+4y'=2x{e}^{x}$，首先考虑对应的齐次方程$y''+4y'=0$。特征方程为${\lambda }^{2}+4\lambda =0$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程${\lambda }^{2}+4\lambda =0$，得到$(\lambda +4)\lambda =0$，从而得到特征根${\lambda }_{1}=-4$和${\lambda }_{2}=0$。
步骤 3：确定非齐次项的形式
非齐次项为$2x{e}^{x}$，其中指数函数的指数为1，即$a=1$。由于1不是特征方程的特征根，因此特解形式为${y}^{*}={B}_{x}{e}^{x}$。
给定微分方程为$y''+4y'=2x{e}^{x}$，首先考虑对应的齐次方程$y''+4y'=0$。特征方程为${\lambda }^{2}+4\lambda =0$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程${\lambda }^{2}+4\lambda =0$，得到$(\lambda +4)\lambda =0$，从而得到特征根${\lambda }_{1}=-4$和${\lambda }_{2}=0$。
步骤 3：确定非齐次项的形式
非齐次项为$2x{e}^{x}$，其中指数函数的指数为1，即$a=1$。由于1不是特征方程的特征根，因此特解形式为${y}^{*}={B}_{x}{e}^{x}$。