已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则sum _(k=1)^22f(k)=( )A. -21B. -22C. -23D. -24

考查要点：本题主要考查函数方程的联立求解、函数对称性与周期性的应用，以及数列求和的能力。

解题核心思路：

1. 利用对称性：已知$g(x)$关于$x=2$对称，即$g(x)=g(4-x)$，可简化方程。
2. 联立方程：通过替换变量，将两个方程联立，消去$f(x)$，得到关于$g(x)$的递推关系。
3. 周期性推导：从递推关系$g(x+2)=12-g(x)$，得出$g(x)$的周期为4。
4. 求和计算：利用周期性分组求和，结合$f(k)=g(k)-7$，最终求出$\sum_{k=1}^{22}f(k)$。

破题关键点：

• 对称性与周期性的结合：通过函数对称性简化方程，发现周期性规律。
• 递推关系的应用：从$g(x+2)=12-g(x)$推导出周期为4，简化求和过程。

步骤1：联立方程消去$f(x)$

1. 由$g(x)-f(x-4)=7$得：
   $f(x) = g(x+4) - 7.$
2. 将$f(x)$代入$f(x)+g(2-x)=5$：
   $g(x+4) - 7 + g(2-x) = 5 \implies g(x+4) + g(2-x) = 12.$

步骤2：利用对称性简化方程

由$g(x)=g(4-x)$，令$x' = 2-x$，则$g(2-x) = g(4-(2-x)) = g(x+2)$。代入得：
$g(x+4) + g(x+2) = 12.$

步骤3：推导周期性

令$y = x+2$，方程变为：
$g(y+2) + g(y) = 12 \implies g(y+2) = 12 - g(y).$
进一步递推得：
$g(y+4) = 12 - g(y+2) = 12 - (12 - g(y)) = g(y).$
因此，$g(x)$周期为4。

步骤4：确定$g(x)$的具体值

• 由$g(2)=4$，结合$g(y+2)=12-g(y)$，得：
  $g(0) = 12 - g(2) = 8.$
• 利用对称性$g(x)=g(4-x)$，得：
  $g(1) = g(3).$
• 由$g(3) = 12 - g(1)$，解得$g(1)=6$，故$g(3)=6$。
• 周期性得：$g(4)=g(0)=8$。

综上，一个周期内$g(1)=6$，$g(2)=4$，$g(3)=6$，$g(4)=8$，和为$6+4+6+8=24$。

步骤5：计算$\sum_{k=1}^{22}f(k)$

1. 由$f(k)=g(k)-7$，得：
   $\sum_{k=1}^{22}f(k) = \sum_{k=1}^{22}g(k) - 7 \times 22.$
2. 分组求和：
   • 22项含5个完整周期（20项），和为$5 \times 24 = 120$。
   • 剩余2项$k=21$和$k=22$对应$g(1)=6$和$g(2)=4$，和为$6+4=10$。
   • 总和$\sum g(k) = 120 + 10 = 130$。
3. 最终结果：
   $130 - 7 \times 22 = 130 - 154 = -24.$