题目
5.计算 iint ((x)^2+(y)^2)ds, 其中∑是-|||-(1)锥面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 及平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域∑由锥面 $z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 和平面 $z=1$ 所围成。锥面与平面的交线为圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，因此积分区域∑由两部分组成：平面 $z=1$ 上被圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 所围的部分（记为E1）和锥面 $z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 在 $0\leqslant z\leqslant 1$ 的部分（记为E2）。
步骤 2：计算E1上的积分
在E1上，$dS=dxdy$，因此积分变为 $\iint_{E1}({x}^{2}+{y}^{2})dxdy$。由于E1在xOy面上的投影区域Dxy为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，可以使用极坐标变换进行计算。极坐标变换下，$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$，因此积分变为 $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho$。
步骤 3：计算E2上的积分
在E2上，$dS=\sqrt{1+{{z}_{x}}^{2}+{{z}_{y}}^{2}}dxdy=\sqrt{2}dxdy$，因此积分变为 $\iint_{E2}({x}^{2}+{y}^{2})\sqrt{2}dxdy$。由于E2在xOy面上的投影区域Dxy为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，可以使用极坐标变换进行计算。极坐标变换下，$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$，因此积分变为 $\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho$。
步骤 4：计算总积分
总积分 $\iint_{\sum}({x}^{2}+{y}^{2})dS$ 等于E1和E2上的积分之和，即 $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho + \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho$。计算得 $\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi = \dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\pi$。
积分区域∑由锥面 $z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 和平面 $z=1$ 所围成。锥面与平面的交线为圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，因此积分区域∑由两部分组成：平面 $z=1$ 上被圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 所围的部分（记为E1）和锥面 $z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 在 $0\leqslant z\leqslant 1$ 的部分（记为E2）。
步骤 2：计算E1上的积分
在E1上，$dS=dxdy$，因此积分变为 $\iint_{E1}({x}^{2}+{y}^{2})dxdy$。由于E1在xOy面上的投影区域Dxy为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，可以使用极坐标变换进行计算。极坐标变换下，$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$，因此积分变为 $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho$。
步骤 3：计算E2上的积分
在E2上，$dS=\sqrt{1+{{z}_{x}}^{2}+{{z}_{y}}^{2}}dxdy=\sqrt{2}dxdy$，因此积分变为 $\iint_{E2}({x}^{2}+{y}^{2})\sqrt{2}dxdy$。由于E2在xOy面上的投影区域Dxy为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$，可以使用极坐标变换进行计算。极坐标变换下，$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$，因此积分变为 $\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho$。
步骤 4：计算总积分
总积分 $\iint_{\sum}({x}^{2}+{y}^{2})dS$ 等于E1和E2上的积分之和，即 $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho + \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\rho^{3}d\rho$。计算得 $\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi = \dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\pi$。