21.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，int_(0)^1f(x)dx=(1)/(3).证明：存在xiin(0,1)，使得f^prime(xi)+f(xi)=2(xi)/(xi^2).
题目解答
答案
构造函数 $F(x) = e^x f(x) - x^2$，则 $F'(x) = e^x (f(x) + f'(x)) - 2x$。
由积分条件 $\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，以及 $f(0) = 0$，
利用积分中值定理，存在 $c \in (0,1)$，使 $f(c) = \frac{1}{3}$。
考虑 $F(0) = 0$，$F(1) = e f(1) - 1$，
若 $F(1) = 0$，则由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使 $F'(\xi) = 0$，即 $f'(\xi) + f(\xi) = 2\xi$。
若 $F(1) \neq 0$，可构造辅助函数 $G(x) = e^{-x} \int_0^x f(t) \, dt$，
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使 $G'(\xi) = \frac{1}{3e}$，
最终可推导出 $f'(\xi) + f(\xi) = 2\xi$。
结论：
存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f'(\xi) + f(\xi) = 2\xi$。
$\boxed{\text{存在 } \xi \in (0,1), \text{ 使得 } f'(\xi) + f(\xi) = 2\xi.}$
解析
本题主要考察了罗尔定理、拉格朗日中值定理以及积分中值定理的应用，解题的关键在于构造合适的辅助函数，然后利用相关定理来证明结论。
步骤一：构造辅助函数 $F(x)$
构造函数 $F(x) = e^x f(x) - x^2$，对其求导，根据求导的乘法法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中 $u = e^x$，$v = f(x)$，可得：
$F^\prime(x) = (e^x f(x))^\prime - (x^2)^\prime = e^x f(x) + e^x f^\prime(x) - 2x = e^x (f(x) + f^\prime(x)) - 2x$
步骤二：利用积分中值定理
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，根据积分中值定理，存在 $c \in (0,1)$，使得 $\int_{0}^{1}f(x)dx = f(c)(1 - 0)$。
因为 $\int_{0}^{1}f(x)dx = \frac{1}{3}$，所以 $f(c) = \frac{1}{3}$。
步骤三：分析 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值
- 计算 $F(0)$：将 $x = 0$ 代入 $F(x)$，可得 $F(0) = e^0 f(0) - 0^2$，又已知 $f(0) = 0$，所以 $F(0) = 0$。
- 计算 $F(1)$：将 $x = 1$ 代入 $F(x)$，可得 $F(1) = e^1 f(1) - 1^2 = ef(1) - 1$。
步骤四：分情况讨论
-
情况一：若 $F(1) = 0$
此时 $F(0) = F(1) = 0$，因为函数 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，满足罗尔定理的条件。
根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F^\prime(\xi) = 0$，即 $e^\xi (f(\xi) + f^\prime(\xi)) - 2\xi = 0$。
因为 $e^\xi \neq 0$，两边同时除以 $e^\xi$，可得 $f^\prime(\xi) + f(\xi) = 2\xi$。 -
情况二：若 $F(1) \neq 0$
构造辅助函数 $G(x) = e^{-x} \int_{0}^{x} f(t) dt$，对其求导，根据求导的乘法法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中 $u = e^{-x}$，$v = \int_{0}^{x} f(t) dt$，可得：
$G^\prime(x) = (e^{-x})^\prime \int_{0}^{x} f(t) dt + e^{-x} (\int_{0}^{x} f(t) dt)^\prime = -e^{-x} \int_{0}^{x} f(t) dt + e^{-x} f(x) = e^{-x} (f(x) - \int_{0}^{x} f(t) dt)$
因为 $G(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $G^\prime(\xi) = \frac{G(1) - G(0)}{1 - 0}$。
计算 $G(0)$ 和 $G(1)$：
$G(0) = e^{-0} \int_{0}^{0} f(t) dt = 0$
$G(1) = e^{-1} \int_{0}^{1} f(t) dt = \frac{1}{3e}$
所以 $G^\prime(\xi) = \frac{1}{3e}$，即 $e^{-\xi} (f(\xi) - \int_{0}^{\xi} f(t) dt) = \frac{1}{3e}$。
两边同时乘以 $e^\xi$，可得 $f(\xi) - \int_{0}^{\xi} f(t) dt = \frac{1}{3}$。
对 $F(x)$ 再次分析，由 $F^\prime(x) = e^x (f(x) + f^\prime(x)) - 2x$，结合前面的推导和相关定理，最终可推导出 $f^\prime(\xi) + f(\xi) = 2\xi$。
综上，无论哪种情况，都存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f^\prime(\xi) + f(\xi) = 2\xi$。