题目
例题3.3.5.设函数f(x)在[a,b]上n阶连续可微，在(a,b)上n+1阶可导，且f^(k)(a)=f^(k)(b)=0(k=0,1,...,n).证明存在xiin(a,b)，使得f(xi)=f^(n+1)(xi).
例题3.3.5.设函数f(x)在[a,b]上n阶连续可微，在(a,b)上n+1阶可导，且
$f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0(k=0,1,\cdots,n).$
证明存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=f^{(n+1)}(\xi).$
题目解答
答案
定义辅助函数 $F(x) = e^{-x} \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x)$。由题设条件，有 $F(a) = F(b) = 0$。根据罗尔定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$。计算导数得：
\[
F'(x) = e^{-x} \left[ -\sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x) + \sum_{k=1}^{n+1} f^{(k)}(x) \right] = e^{-x} \left[ f^{(n+1)}(x) - f(x) \right].
\]
令 $F'(\xi) = 0$，得 $f^{(n+1)}(\xi) - f(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = f^{(n+1)}(\xi)$。因此，存在 $\xi \in (a, b)$ 满足条件。
\[
\boxed{\xi \in (a, b) \text{ 使得 } f(\xi) = f^{(n+1)}(\xi)}
\]
解析
本题考查罗尔定理的应用。解题的关键思路是构造一个合适的辅助函数，利用已知条件得出该辅助函数在区间端点处的值相等，再根据罗尔定理证明存在一点使得辅助函数的导数为零，进而推导出所需结论。
- 构造辅助函数：
定义辅助函数 $F(x) = e^{-x} \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x)$。 - 验证辅助函数在区间端点的值：
已知 $f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0(k = 0,1,\cdots,n)$，将 $x = a$ 代入 $F(x)$ 可得：
$F(a)=e^{-a}\sum_{k = 0}^{n}f^{(k)}(a)=e^{-a}\times0 = 0$
将 $x = b$ 代入 $F(x)$ 可得：
$F(b)=e^{-b}\sum_{k = 0}^{n}f^{(k)}(b)=e^{-b}\times0 = 0$
所以 $F(a)=F(b)=0$。 - 应用罗尔定理：
因为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $n$ 阶连续可微，在 $(a,b)$ 上 $n + 1$ 阶可导，那么 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，且 $F(a)=F(b)=0$。
根据罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $F'(\xi)=0$。 - 计算辅助函数的导数：
根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，对 $F(x)=e^{-x}\sum_{k = 0}^{n}f^{(k)}(x)$ 求导，其中 $u = e^{-x}$，$v=\sum_{k = 0}^{n}f^{(k)}(x)$。
$u^\prime=(e^{-x})^\prime=-e^{-x}$，$v^\prime=\left(\sum_{k = 0}^{n}f^{(k)}(x)\right)^\prime=\sum_{k = 1}^{n + 1}f^{(k)}(x)$。
则 $F^\prime(x)=-e^{-x}\sum_{k = 0}^{n}f^{(k)}(x)+e^{-x}\sum_{k = 1}^{n + 1}f^{(k)}(x)=e^{-x}\left[-\sum_{k = 0}^{n}f^{(k)}(x)+\sum_{k = 1}^{n + 1}f^{(k)}(x)\right]$。
进一步化简可得：
$F^\prime(x)=e^{-x}\left[f^{(n + 1)}(x)-f(x)\right]$。 - 求解 $\xi$ 满足的等式：
因为 $F'(\xi)=0$，即 $e^{-\xi}\left[f^{(n + 1)}(\xi)-f(\xi)\right]=0$。
由于 $e^{-\xi}\neq0$，所以 $f^{(n + 1)}(\xi)-f(\xi)=0$，即 $f(\xi)=f^{(n + 1)}(\xi)$。