题目

设二维随机变量((X)^6X)的联合分布律为((X)^6X)，（1）求常数k；（2）求((X)^6X)关于X和关于Y的边缘分布律；（3）判断X与Y是否独立？

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $\begin{pmatrix} Y/X&-1&0&1 \newline 0&0.25&0&k \newline 1&0&0.5&0 \end{pmatrix}$ ，（1）求常数k；（2）求 $(X,Y)$ 关于X和关于Y的边缘分布律；

（3）判断X与Y是否独立？

题目解答

答案

（1）二维离散型随机变量联合分布律的归一性，即 $\sum_{i=-1}^1\sum_{j=0}^1P\left(X=i,Y=j\right)=1$ ，则 $0.25+0+0+0.5+k+0=1$ ，则 $k=0.25$ ；

（2）X的边缘分布律为 $P\left(X=-1\right)=\sum_{j=0}^1P\left(X=-1,Y=j\right)$ $=0.25+0=0.25$ ， $P\left(X=0\right)=\sum_{j=0}^1P\left(X=0,Y=j\right)$ $=0+0.5=0.5$ ， $P\left(X=1\right)=\sum_{j=0}^1P\left(X=1,Y=j\right)$ $=0.25+0=0.25$ ，即 $\begin{pmatrix} X&-1&0&1 \newline P&0.25&0.5&0.25 \end{pmatrix}$ ，

Y的边缘分布律为 $P\left(Y=0\right)=\sum_{i=-1}^1P\left(X=i,Y=0\right)$ $=0.25+0+0.25=0.5$ ， $P\left(Y=1\right)=\sum_{i=-1}^1P\left(X=i,Y=1\right)$ $=0+0.5+0=0.5$ ，即 $\begin{pmatrix} Y&0&1 \newline P&0.5&0.5 \end{pmatrix}$ ；

（3） $P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=0.5\times0.5=0.25$ ，则 $P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)\ne P\left(X=0,Y=0\right)$ ，即X与Y边缘概率的乘积不等于联合概率，则X与Y不相互独立。

解析

步骤 1：求常数k
根据二维离散型随机变量联合分布律的归一性，即$\sum _{i=-1}^{1}{(X)}_{(-X)},X=i)=1$，则0.25+0+0+0.5+k+0=1，则k=0.25；
步骤 2：求$({X}^{6}X)$关于X和关于Y的边缘分布律
X的边缘分布律为$P(X=-1)=\sum _{i=0}^{1}P(X=-1,Y=j)$=0.25+0=0.25，$P(X=0)=\sum _{i=0}^{1}P(X=0,Y=j)$=0+0.5=0.5，$P(X=1)=\sum _{i=0}^{1}P(X=1,Y=j)$=0.25+0=0.25，即X -1 0 1 P 0.25 0.5 0.25，
Y的边缘分布律为$P(Y=0)=\sum _{i=1}^{1}P(X=i,Y=0)$=0.25+0+0.25=0.5，$P(Y=1)=\sum _{i=1}^{1}P(X=i,Y=1)$=0+0.5+0=0.5，即Y 0 1 P 0.5 0.5；
步骤 3：判断X与Y是否独立
$P(X=0)P(Y=0)=0.5\times 0.5=0.25$，则$P(X=0)P(Y=0)\neq P(X=0,Y=0)$，即X与Y边缘概率的乘积不等于联合概率，则X与Y不相互独立。