题目
2.1.2 在区域 = (x,y):0leqslant xleqslant pi ,0leqslant yleqslant sin x 内任取一点,以X表示该点-|||-的横坐标,求X的分布函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定区域D的面积
区域D的面积可以通过对y关于x的积分来计算。由于y的范围是0到sinx，x的范围是0到π，因此区域D的面积S可以通过以下积分计算：
\[ S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx \]
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到区域D的面积：
\[ S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2 \]
步骤 3：确定X的分布函数
X的分布函数F(x)表示在区域D内随机选取一点，其横坐标小于等于x的概率。由于区域D的面积为2，因此F(x)可以通过以下积分计算：
\[ F(x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} \sin t \, dt \]
步骤 4：计算分布函数
计算上述积分，得到X的分布函数：
\[ F(x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} \sin t \, dt = \frac{1}{2} [-\cos t]_{0}^{x} = \frac{1}{2} (-\cos x + \cos 0) = \frac{1}{2} (1 - \cos x) \]
步骤 5：确定分布函数的定义域
根据题目条件，X的取值范围是0到π，因此分布函数F(x)的定义域为0到π。当x小于0时，F(x)为0；当x大于π时，F(x)为1。
区域D的面积可以通过对y关于x的积分来计算。由于y的范围是0到sinx，x的范围是0到π，因此区域D的面积S可以通过以下积分计算：
\[ S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx \]
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到区域D的面积：
\[ S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2 \]
步骤 3：确定X的分布函数
X的分布函数F(x)表示在区域D内随机选取一点，其横坐标小于等于x的概率。由于区域D的面积为2，因此F(x)可以通过以下积分计算：
\[ F(x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} \sin t \, dt \]
步骤 4：计算分布函数
计算上述积分，得到X的分布函数：
\[ F(x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} \sin t \, dt = \frac{1}{2} [-\cos t]_{0}^{x} = \frac{1}{2} (-\cos x + \cos 0) = \frac{1}{2} (1 - \cos x) \]
步骤 5：确定分布函数的定义域
根据题目条件，X的取值范围是0到π，因此分布函数F(x)的定义域为0到π。当x小于0时，F(x)为0；当x大于π时，F(x)为1。