6.(2023 合肥)每份基础版套餐包含甲产品2件，乙产品3件，售价1000元，每份升级版套餐包含甲产品5件，乙产品4件，售价1700元。若甲、乙产品的库存件数分别为200件、240件，则能达到的最大总售价为?A. 85200B. 86278C. 85900D. 86600

考查要点：本题属于线性规划的实际应用问题，主要考查如何根据约束条件建立数学模型，并通过寻找可行解的整数点来求解最大值。

解题核心思路：

1. 建立约束条件：根据甲、乙产品的库存限制，列出关于基础版套餐（$x$）和升级版套餐（$y$）的不等式组。
2. 确定目标函数：总售价为 $1000x + 1700y$，需最大化。
3. 寻找可行解：通过解约束条件的交点，找到可能的整数解，代入目标函数比较得出最大值。

破题关键点：

• 整数解的处理：由于套餐数量必须为整数，需对交点附近的整数点逐一验证。
• 约束条件的严格性：需确保所有约束条件均被满足，避免超出库存。

建立数学模型

设基础版套餐数量为 $x$，升级版套餐数量为 $y$，则约束条件为：
$\begin{cases}2x + 5y \leq 200 \quad \text{（甲产品库存限制）} \\3x + 4y \leq 240 \quad \text{（乙产品库存限制）} \\x \geq 0, \, y \geq 0 \quad \text{（非负性）}\end{cases}$
目标函数为总售价：
$\text{总售价} = 1000x + 1700y$

求解约束条件的交点

联立方程 $2x + 5y = 200$ 和 $3x + 4y = 240$，解得：
$y = \frac{120}{7} \approx 17.14, \quad x = \frac{400}{7} \approx 57.14$
由于 $x$ 和 $y$ 必须为整数，需取 $y = 17$ 或 $y = 18$，并计算对应的 $x$ 值。

验证整数解

1. 当 $y = 17$ 时：

   • 甲产品约束：$2x + 5 \times 17 \leq 200 \Rightarrow x \leq 57.5$，取 $x = 57$。
   • 乙产品约束：$3 \times 57 + 4 \times 17 = 239 \leq 240$，满足条件。
   • 总售价：$1000 \times 57 + 1700 \times 17 = 85900$。

2. 当 $y = 18$ 时：

   • 甲产品约束：$2x + 5 \times 18 \leq 200 \Rightarrow x \leq 55$。
   • 乙产品约束：$3 \times 55 + 4 \times 18 = 237 \leq 240$，满足条件。
   • 总售价：$1000 \times 55 + 1700 \times 18 = 85600$。

比较结果

$85900 > 85600$，因此最大总售价为 85900。