题目
9.lim_(xtoinfty)(e^x-xarctan x)/(e^x)+x=( ). (A.)1 (B.)(pi)/(2) (C.)0 (D.)不存在
9.$\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}-xarctan x}{e^{x}+x}=( )$. (
A.)1 (
B.)$\frac{\pi}{2}$ (
C.)0 (
D.)不存在
A.)1 (
B.)$\frac{\pi}{2}$ (
C.)0 (
D.)不存在
题目解答
答案
将分子和分母同时除以 $e^x$，得
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \arctan x}{e^x}}{1 + \frac{x}{e^x}}
\]
分析各部分极限：
- $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$（指数函数增长速度远超线性函数），
- $\lim_{x \to \infty} \frac{x \arctan x}{e^x} = 0$（$\arctan x$ 趋近于常数，仍被指数函数压制）。
因此，原极限为
\[
\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1
\]
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：分子分母同时除以 $e^x$
将原极限式中的分子和分母同时除以 $e^x$，得到 \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \arctan x}{e^x}}{1 + \frac{x}{e^x}} \]
步骤 2：分析各部分极限
- $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$（指数函数增长速度远超线性函数）
- $\lim_{x \to \infty} \frac{x \arctan x}{e^x} = 0$（$\arctan x$ 趋近于常数，仍被指数函数压制）
步骤 3：计算原极限
将步骤 2 中的极限值代入步骤 1 的表达式中，得到 \[ \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \]
将原极限式中的分子和分母同时除以 $e^x$，得到 \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x \arctan x}{e^x}}{1 + \frac{x}{e^x}} \]
步骤 2：分析各部分极限
- $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$（指数函数增长速度远超线性函数）
- $\lim_{x \to \infty} \frac{x \arctan x}{e^x} = 0$（$\arctan x$ 趋近于常数，仍被指数函数压制）
步骤 3：计算原极限
将步骤 2 中的极限值代入步骤 1 的表达式中，得到 \[ \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \]