5.给出以下4个极限①lim_(xto0)(1+(1)/(x))^x. ②lim_(xtoinfty)(1+x)^(1)/(x).③lim_(xtoinfty)(1+(1)/(sqrt(1+x^2)))^x. ④lim_(xtoinfty)(1+sin(1)/(x))^x.其中极限等于e的个数为( )A. 1B. 2

本题考查重要极限公式$\lim\limits_{t\to0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$的应用，解题思路是通过对每个极限式子进行变形，使其符合重要极限公式的形式，然后计算极限值，最后统计极限等于$e$的个数。

①计算$\lim\limits_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^{x}$

当$x\to0$时，$\frac{1}{x}\to\infty$，令$t = \frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{t}$，当$x\to0$时，$t\to\infty$。
那么$\lim\limits_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^{x}=\lim\limits_{t\to\infty}(1 + t)^{\frac{1}{t}}$。
当$t\to\infty$时，$(1 + t)^{\frac{1}{t}}\to1$，所以$\lim\limits_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^{x}=1\neq e$。

②计算$\lim\limits_{x\to\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}$

当$x\to\infty$时，$1+x\to\infty$，$\frac{1}{x}\to0$。
令$t=x$，则$\lim\limits_{x\to\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{t\to\infty}(1 + t)^{\frac{1}{t}}$。
当$t\to\infty$时，$(1 + t)^{\frac{1}{t}}\to1$，所以$\lim\limits_{x\to\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=1\neq e$。

③计算$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{x}$

先对原式进行变形，$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{x}=\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{\sqrt{1 + x^{2}}}]^{\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$。

• 对于$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{\sqrt{1 + x^{2}}}$，令$t = \sqrt{1 + x^{2}}$，当$x\to\infty$时，$t\to\infty$，根据重要极限公式$\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{t}=e$，可得$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{\sqrt{1 + x^{2}}}=e$。
• 对于$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$，分子分母同时除以$x$（$x\gt0$），得到$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}} + 1}} = 1$。
  根据复合函数极限运算法则，若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{u\to A}g(u)=B$，则$\lim\limits_{x\to x_0}g(f(x))=B$，可得$\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})^{\sqrt{1 + x^{2}}}]^{\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}=e^1 = e$。

④计算$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\sin\frac{1}{x})^{x}$

令$t=\frac{1}{x}$，当$x\to\infty$时，$t\to0$，则$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\sin\frac{1}{x})^{x}=\lim\limits_{t\to0}(1+\sin t)^{\frac{1}{t}}$。
将$(1+\sin t)^{\frac{1}{t}}$变形为$[(1+\sin t)^{\frac{1}{\sin t}}]^{\frac{\sin t}{t}}$。

• 对于$\lim\limits_{t\to0}(1+\sin t)^{\frac{1}{\sin t}}$，令$u = \sin t$，当$t\to0$时，$u\to0$，根据重要极限公式$\lim\limits_{u\to0}(1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$，可得$\lim\limits_{t\to0}(1+\sin t)^{\frac{1}{\sin t}}=e$。
• 对于$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin t}{t}$，根据重要极限公式$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1$。
  根据复合函数极限运算法则，可得$\lim\limits_{t\to0}[(1+\sin t)^{\frac{1}{\sin t}}]^{\frac{\sin t}{t}}=e^1 = e$。

综上，极限等于$e$的有③和④，共$2$个。