一个直角三角形的三条边都是整数长，其中一条边为15，这样的直角三角形有几个? (A.)1 (B.)2 (C.)3 (D.)4 (E.)5

为了确定一个直角三角形的三条边都是整数长，其中一条边为15的直角三角形的个数，我们需要考虑所有可能的情况，即15可以是直角边，也可以是斜边。 ### 情况1：15是直角边 设直角三角形的三边为 $a = 15$，$b$，和 $c$（其中 $c$ 是斜边）。根据勾股定理，我们有： \[a^2 + b^2 = c^2 \implies 15^2 + b^2 = c^2 \implies 225 + b^2 = c^2 \implies c^2 - b^2 = 225 \implies (c - b)(c + b) = 225\] 我们需要找到所有成对的整数 $(c - b)$ 和 $(c + b)$ 使得它们的乘积为225。225的因数对为： \[(1, 225), (3, 75), (5, 45), (9, 25), (15, 15)\] 对于每一对因数，我们可以解出 $c$ 和 $b$： 1. 对于 $(1, 225)$： \[c - b = 1 \quad \text{和} \quad c + b = 225 \implies 2c = 226 \implies c = 113 \implies b = 112\] 三边为 $15, 112, 113$。 2. 对于 $(3, 75)$： \[c - b = 3 \quad \text{和} \quad c + b = 75 \implies 2c = 78 \implies c = 39 \implies b = 36\] 三边为 $15, 36, 39$。 3. 对于 $(5, 45)$： \[c - b = 5 \quad \text{和} \quad c + b = 45 \implies 2c = 50 \implies c = 25 \implies b = 20\] 三边为 $15, 20, 25$。 4. 对于 $(9, 25)$： \[c - b = 9 \quad \text{和} \quad c + b = 25 \implies 2c = 34 \implies c = 17 \implies b = 8\] 三边为 $15, 8, 17$。 5. 对于 $(15, 15)$： \[c - b = 15 \quad \text{和} \quad c + b = 15 \implies 2c = 30 \implies c = 15 \implies b = 0\] 这不是有效的三角形，因为 $b$ 必须是正数。 因此，当15是直角边时，有效的直角三角形有四个：$(15, 112, 113)$，$(15, 36, 39)$，$(15, 20, 25)$，和 $(15, 8, 17)$。 ### 情况2：15是斜边 设直角三角形的三边为 $a$，$b$，和 $c = 15$。根据勾股定理，我们有： \[a^2 + b^2 = c^2 \implies a^2 + b^2 = 15^2 \implies a^2 + b^2 = 225\] 我们需要找到所有成对的整数 $a$ 和 $b$ 使得它们的平方和为225。通过检查可能的值，我们发现： \[12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\] \[15^2 + 0^2 = 225 + 0 = 225\] 但是 $b$ 必须是正数，所以唯一有效的对是 $(12, 9)$。 因此，当15是斜边时，有效的直角三角形有一个：$(12, 9, 15)$。 ### 结论 将两种情况下的所有有效直角三角形合并，我们有五个直角三角形：$(15, 112, 113)$，$(15, 36, 39)$，$(15, 20, 25)$，$(15, 8, 17)$，和 $(9, 12, 15)$。 因此，这样的直角三角形的个数是 $\boxed{5}$。正确答案是 $\boxed{E}$。