已知随机变量 X 的方差存在，且满足不等式 P|X-EX|geq3leq9，则一定有(）。A. P|X-EX|B. DX=2C. P|X-EX|D. DXneq2

本题考查切比雪夫不等式的应用。题目给出随机变量$X$的方差存在，并满足$P\{|X-EX|\geq3\}\leq\frac{2}{9}$（题目中可能存在笔误，实际应为$\frac{2}{9}$而非$9$）。需利用切比雪夫不等式推导概率范围，进而判断选项。

关键思路：

1. 切比雪夫不等式：$P\{|X-EX|\geq k\} \leq \frac{DX}{k^2}$。
2. 通过题目条件反向推导方差$DX$的范围，再结合概率的补集关系得出正确选项。

步骤1：应用切比雪夫不等式

根据切比雪夫不等式：
$P\{|X-EX|\geq3\} \leq \frac{DX}{3^2} = \frac{DX}{9}.$
题目条件给出：
$P\{|X-EX|\geq3\} \leq \frac{2}{9}.$
联立得：
$\frac{DX}{9} \leq \frac{2}{9} \implies DX \leq 2.$

步骤2：计算$P\{|X-EX|<3\}$

概率的补集关系为：
$P\{|X-EX|<3\} = 1 - P\{|X-EX|\geq3\}.$
根据题目条件：
$P\{|X-EX|\geq3\} \leq \frac{2}{9},$
因此：
$P\{|X-EX|<3\} \geq 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}.$

步骤3：验证选项

• 选项C：$P\{|X-EX|<3\}\geq\frac{7}{9}$，符合推导结果。
• 选项B、D涉及方差$DX=2$或$DX\neq2$，但题目未限定$DX$必须等于2，仅知$DX\leq2$，故无法确定。
• 选项A：$P\{|X-EX|<3\}<\frac{7}{9}$，与推导结果矛盾。