12-14 一平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上.油膜覆盖在玻璃板上.所用单-|||-色光的波长可以连续变化,观察到500nm与700nm这两个波长的光在反射中消失油的折射-|||-率为1.30,玻璃的折射率为1.50,试求油膜的最小厚度.

本题考查薄膜干涉中的相消条件及光程差计算。关键点在于：

1. 确定相位突变情况：两次反射均发生相位突变，总突变为$2\pi$，可忽略，故光程差决定干涉类型。
2. 相消条件：光程差为半波长的奇数倍，即$2nt = (m+\frac{1}{2})\lambda$。
3. 建立方程：利用两个波长对应的相消条件，联立方程求最小整数解，最终得到油膜厚度。

步骤1：分析相位突变与干涉条件

• 光从空气（$n=1.0$）入射到油膜（$n=1.30$），第一次反射发生相位突变$\pi$。
• 光从油膜（$n=1.30$）入射到玻璃（$n=1.50$），第二次反射也发生相位突变$\pi$。
• 总相位突变为$2\pi$，等效于无突变，故反射光的相消条件仅由光程差决定。

步骤2：建立相消条件方程

反射光相消时，光程差满足：
$2nt = \left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$
其中$m$为非负整数，$t$为油膜厚度，$n=1.30$为油的折射率，$\lambda$为入射光波长。

对于$\lambda_1=500\ \text{nm}$和$\lambda_2=700\ \text{nm}$，分别有：
$2nt = \left(m+\frac{1}{2}\right)500 \quad (1)$
$2nt = \left(k+\frac{1}{2}\right)700 \quad (2)$

步骤3：联立方程求整数解

联立$(1)$和$(2)$得：
$\left(m+\frac{1}{2}\right)500 = \left(k+\frac{1}{2}\right)700$
化简得：
$\frac{m+\frac{1}{2}}{k+\frac{1}{2}} = \frac{7}{5}$
进一步整理为：
$5m -7k =1$
解此不定方程，得最小非负整数解为$m=3$，$k=2$。

步骤4：计算油膜厚度

将$m=3$代入方程$(1)$：
$2 \cdot 1.30 \cdot t = \left(3+\frac{1}{2}\right)500$
$t = \frac{3.5 \cdot 500}{2 \cdot 1.30} = \frac{1750}{2.6} \approx 673\ \text{nm}$