题目

设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵，若A^3=O，证明A+E是可逆矩阵并求(A+E)^-1.

设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵，若$A^{3}=O$，证明A+E是可逆矩阵并求$(A+E)^{-1}$.

题目解答

答案

设 $ A $ 为 $ n $ 阶非零矩阵，满足 $ A^3 = O $。要证明 $ A + E $ 可逆并求其逆矩阵，可如下推导：

  1. 可逆性证明：
    考虑 $ (A + E)(E - A + A^2) $，展开得：
    $(A + E)(E - A + A^2) = A - A^2 + A^3 + E - A + A^2 = E + A^3 = E$
    由于 $ A^3 = O $，上式简化为 $ E $，说明 $ A + E $ 可逆。

  2. 逆矩阵求解：
    由上述推导，$ (A + E)^{-1} = E - A + A^2 $。

结论：
矩阵 $ A + E $ 可逆，其逆矩阵为 $ \boxed{E - A + A^2} $。

解析

本题考查矩阵可逆的定义以及矩阵乘法运算。解题的关键思路是根据矩阵可逆的定义，若存在矩阵$B$，使得$(A + E)B = E$，则矩阵$A + E$可逆，且$B$就是$A + E$的逆矩阵。我们需要通过对矩阵乘法的运算，找到满足条件的矩阵$B$。

下面进行详细的推导：

  1. 考虑$(A + E)(E - A + A^2)$，根据矩阵乘法的分配律$(M+N)P = MP+NP$，将其展开：
    • $(A + E)(E - A + A^2)=A(E - A + A^2)+E(E - A + A^2)$
    • 再根据矩阵乘法的分配律进一步展开：
      • $A(E - A + A^2)=AE - A^2+A^3$，因为$AE = A$，所以$A(E - A + A^2)=A - A^2+A^3$。
      • $E(E - A + A^2)=E^2 - EA+EA^2$，由于$E^2 = E$，$EA = A$，$EA^2 = A^2$，所以$E(E - A + A^2)=E - A + A^2$。
    • 则$(A + E)(E - A + A^2)=(A - A^2+A^3)+(E - A + A^2)$。
  2. 对上式进行化简：
    • 合并同类项可得$(A - A^2+A^3)+(E - A + A^2)=E+(A - A)+(-A^2 + A^2)+A^3=E + A^3$。
  3. 已知$A^3 = O$（零矩阵），将其代入上式：
    • 得到$E + A^3=E+O = E$。

根据矩阵可逆的定义，因为存在矩阵$E - A + A^2$，使得$(A + E)(E - A + A^2)=E$，所以矩阵$A + E$可逆，且$(A + E)^{-1}=E - A + A^2$。