5. λ取怎样的数值时，线性方程组 λx_(1)+x_(2)+2x_(3)-3x_(4)=2, λ^2x_(1)-3x_(2)+2x_(3)+x_(4)=-1, λ^3x_(1)-x_(2)+2x_(3)-x_(4)=-1有解？

本题考察线性方程组有解的判定条件：线性方程组$Ax=b$有解的充要条件是系数矩阵$A$的秩等于增广矩阵$\overline{A}=[A|b]$的秩$(\text{rank}(A)=\text{rank}(\overline{A}))$。

步骤1：写出系数矩阵$A$和增广矩阵$\overline{A}$

给定线性方程组：
$\begin{cases}\lambda x_1 + x_2 + 2x_3 - 3x_4 = 2 \\\lambda^2 x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 = - -1 \\\lambda^3 x_1 - x_2 + 2x_3 - x_4 = -1\end{cases}$
系数矩阵$A$和增广矩阵$\overline{A}$为：
$A=\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 2 & -3 \\\\\lambda^2 & -3 & 2 & 1\\\lambda^3 & -1 & 2 & -1\end{bmatrix},\quad\overline{A}=\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 2 & -3 & 2\\\\\lambda^2 & -3 & 2 & 1 & -1\\\lambda^3 & -1 & 2 & -1 & -1\end{bmatrix}$

步骤2：取子矩阵$B$计算行列式

为分析$A$的子矩阵（如前3列构成的矩阵$B$），计算其行列式判断秩的变化：
$\det(B)=\begin{vmatrix}\lambda & 1 & 2\\\lambda^2 & -3 & 2\\\lambda^3 & -1 &2\end{vmatrix}$
按行列式展开法则：
$\det(B)=\lambda\begin{vmatrix}-3&2\\-1&2\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}\lambda^2&2\\\lambda^3&2\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}\lambda^2&-3\\\lambda^3&-1\end{vmatrix}$
$=\lambda(-6+2)-1(2\lambda^2-2\lambda^3)+2(-\lambda^2+3\lambda^3)$
$=-4\lambda-2\lambda^2+2\lambda^3-2\lambda^2+6\lambda^3$
$=8\lambda^3-4\lambda^2-4\lambda=4\lambda(2\lambda+1)(\lambda-1)$

步骤3：分类讨论$\lambda$的取值

1. 当$\lambda\neq0,-\frac{1}{2},1$时：
   $\det(B)\neq0$，故$\text{rank}(B)=3$，从而$\text{rank}(A)=3$（$\text{rank}(\overline{A})=3$，方程组有解。

2. 当$\lambda=0$时：
   此时方程组化为：
   $\begin{cases}x_2+2x_3-3x_4=2\\-3x_2+2x_3+x_4=-1\\-x_2+2x_3-x_4=-=--1\end{cases}$
   增广矩阵行变换后，系数矩阵与增广矩阵秩均为2，有解。

3. 当$\lambda=-\frac{1}{2}$或$\lambda=1$时：
   行变换后发现$\text{rank}(A)=2<\text{rank}(\overline{A})=3$，方程组无解。