题目
填空题（共7题，21.0分）10.（3.0分）设n方阵A满足A^2-3A+3E=0，则(A-2E)^-1=____.
填空题（共7题，21.0分）
10.（3.0分）设n方阵A满足$A^{2}-3A+3E=0$，则$(A-2E)^{-1}=$____.
题目解答
答案
为了求解 $(A-2E)^{-1}$，我们从给定的方程 $A^2 - 3A + 3E = 0$ 开始。我们的目标是将 $(A-2E)^{-1}$ 表达为 $A$ 的函数。
首先，我们重写给定的方程：
\[A^2 - 3A + 3E = 0.\]
这可以重新排列为：
\[A^2 - 3A = -3E.\]
现在，我们想要找到一个矩阵 $B$，使得：
\[(A-2E)B = E.\]
这意味着 $B = (A-2E)^{-1}$。
让我们尝试将 $B$ 表达为 $A$ 的函数。考虑表达式：
\[(A-2E)(A-1E).\]
展开这个表达式，我们得到：
\[A^2 - A - 2A + 2E = A^2 - 3A + 2E.\]
从给定的方程 $A^2 - 3A = -3E$，我们将 $-3E$ 代入 $A^2 - 3A$：
\[A^2 - 3A + 2E = -3E + 2E = -E.\]
因此，我们有：
\[(A-2E)(A-E) = -E.\]
为了得到单位矩阵 $E$，我们将两边乘以 $-1$：
\[(A-2E)(-(A-E)) = E.\]
这表明：
\[(A-2E)^{-1} = -(A-E) = -A + E = E - A.\]
因此，答案是：
\[\boxed{E-A}.\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形与逆矩阵的求解方法，需要灵活运用矩阵运算规则和方程变形技巧。
解题核心思路：
- 利用已知方程构造与目标矩阵相关的表达式，将原方程变形为包含$(A-2E)$的形式。
- 通过矩阵乘法验证逆矩阵的存在性，找到满足$(A-2E)B=E$的矩阵$B$，从而确定$(A-2E)^{-1}$。
破题关键点：
- 将原方程中的$A^2-3A$替换为$-3E$，简化表达式。
- 构造乘积$(A-2E)(A-E)$，结合已知方程推导出结果。
步骤1：整理已知方程
已知$A^2 - 3A + 3E = 0$，可变形为：
$A^2 - 3A = -3E.$
步骤2：构造目标矩阵的乘积
考虑$(A-2E)(A-E)$的展开：
$\begin{aligned}(A-2E)(A-E) &= A^2 - AE - 2EA + 2E^2 \\&= A^2 - 3A + 2E \quad (\text{因} \ AE = EA = A).\end{aligned}$
步骤3：代入已知方程
将$A^2 - 3A = -3E$代入上式：
$(A-2E)(A-E) = -3E + 2E = -E.$
步骤4：调整符号得到单位矩阵
两边乘以$-1$：
$(A-2E)(-A + E) = E.$
结论：
因此，$(A-2E)^{-1} = -A + E = E - A$。