题目
+9Ktimes 7 网可伸列.-|||-+9Ktimes 7 网可伸列.-|||-3.计算排列 ... (2n-1)24... (2n) 的逆序数,并讨论其奇偶性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义逆序数
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。逆序对是指排列中两个元素的顺序与它们的自然顺序相反，即对于排列中的两个元素 $a_i$ 和 $a_j$，如果 $i < j$ 但 $a_i > a_j$，则称 $(a_i, a_j)$ 为一个逆序对。
步骤 2：分析排列 $135\cdots (2n-1)24\cdots (2n)$
排列 $135\cdots (2n-1)24\cdots (2n)$ 中，奇数部分 $1, 3, 5, \cdots, (2n-1)$ 与偶数部分 $2, 4, 6, \cdots, 2n$ 分别按升序排列。因此，奇数部分内部和偶数部分内部没有逆序对。逆序对只可能出现在奇数部分和偶数部分之间。
步骤 3：计算逆序数
对于奇数部分中的每个元素 $a_i = 2i-1$，它与偶数部分中的每个元素 $a_j = 2j$ 形成逆序对，因为 $2i-1 < 2j$。奇数部分有 $n$ 个元素，偶数部分也有 $n$ 个元素。因此，每个奇数部分的元素与偶数部分的 $n$ 个元素形成逆序对，总共有 $n \times n = n^2$ 个逆序对。但是，由于奇数部分的每个元素只与偶数部分的比它大的元素形成逆序对，所以每个奇数部分的元素实际上只与偶数部分的 $n-i$ 个元素形成逆序对。因此，总的逆序数为：
$$
\sum_{i=1}^{n} (n-i) = \sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{n(n-1)}{2}
$$
步骤 4：讨论奇偶性
逆序数 $\frac{n(n-1)}{2}$ 的奇偶性取决于 $n(n-1)$ 的奇偶性。由于 $n$ 和 $n-1$ 一奇一偶，所以 $n(n-1)$ 一定是偶数，因此逆序数 $\frac{n(n-1)}{2}$ 也是偶数。这意味着排列 $135\cdots (2n-1)24\cdots (2n)$ 是偶排列。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。逆序对是指排列中两个元素的顺序与它们的自然顺序相反，即对于排列中的两个元素 $a_i$ 和 $a_j$，如果 $i < j$ 但 $a_i > a_j$，则称 $(a_i, a_j)$ 为一个逆序对。
步骤 2：分析排列 $135\cdots (2n-1)24\cdots (2n)$
排列 $135\cdots (2n-1)24\cdots (2n)$ 中，奇数部分 $1, 3, 5, \cdots, (2n-1)$ 与偶数部分 $2, 4, 6, \cdots, 2n$ 分别按升序排列。因此，奇数部分内部和偶数部分内部没有逆序对。逆序对只可能出现在奇数部分和偶数部分之间。
步骤 3：计算逆序数
对于奇数部分中的每个元素 $a_i = 2i-1$，它与偶数部分中的每个元素 $a_j = 2j$ 形成逆序对，因为 $2i-1 < 2j$。奇数部分有 $n$ 个元素，偶数部分也有 $n$ 个元素。因此，每个奇数部分的元素与偶数部分的 $n$ 个元素形成逆序对，总共有 $n \times n = n^2$ 个逆序对。但是，由于奇数部分的每个元素只与偶数部分的比它大的元素形成逆序对，所以每个奇数部分的元素实际上只与偶数部分的 $n-i$ 个元素形成逆序对。因此，总的逆序数为：
$$
\sum_{i=1}^{n} (n-i) = \sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{n(n-1)}{2}
$$
步骤 4：讨论奇偶性
逆序数 $\frac{n(n-1)}{2}$ 的奇偶性取决于 $n(n-1)$ 的奇偶性。由于 $n$ 和 $n-1$ 一奇一偶，所以 $n(n-1)$ 一定是偶数，因此逆序数 $\frac{n(n-1)}{2}$ 也是偶数。这意味着排列 $135\cdots (2n-1)24\cdots (2n)$ 是偶排列。