题目
【题目】设函数f(x)满足下列条件:(1) f(x+y)=f(x)⋅f(y) ,对一切x,y∈R;(2)f(x)=1+xg(x),而 lim_(x→0)g(x)=1 .试证明f(x)在R上处处可导,且 f'(x)=f(x) .
【题目】设函数f(x)满足下列条件:(1) f(x+y)=f(x)⋅f(y) ,对一切x,y∈R;(2)f(x)=1+xg(x),而 lim_(x→0)g(x)=1 .试证明f(x)在R上处处可导,且 f'(x)=f(x) .
题目解答
答案
【解析】证由(2)知f(0)=1,故f'(x)=lim_(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/(Δx)=Δini_(Δx→)(f(x)f(Δx)-f(x))/(Δx) =lim_(Δx→0)[f(x)⋅(f(Δx)-1)/(Δx)]=Δili_(Δx→0)[f(x)]⋅(Δxg(Δx))/(Δx)] =lim_(Δx→0)[f(x)g(Δx)]=f(x)⋅1=f(x)
解析
步骤 1：确定f(0)的值
由条件(2)可知，当x=0时，f(0)=1+0⋅g(0)=1。因此，f(0)=1。
步骤 2：利用条件(1)求导
根据导数的定义，f'(x) = lim_(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x)) / Δx。
利用条件(1)，f(x+Δx) = f(x)⋅f(Δx)。
因此，f'(x) = lim_(Δx→0) (f(x)⋅f(Δx) - f(x)) / Δx = lim_(Δx→0) f(x)⋅(f(Δx) - 1) / Δx。
步骤 3：利用条件(2)简化表达式
由条件(2)，f(Δx) = 1 + Δx⋅g(Δx)。
因此，f'(x) = lim_(Δx→0) f(x)⋅(1 + Δx⋅g(Δx) - 1) / Δx = lim_(Δx→0) f(x)⋅(Δx⋅g(Δx)) / Δx = lim_(Δx→0) f(x)⋅g(Δx)。
步骤 4：利用极限性质求解
由条件(2)，lim_(x→0) g(x) = 1。
因此，f'(x) = f(x)⋅lim_(Δx→0) g(Δx) = f(x)⋅1 = f(x)。
由条件(2)可知，当x=0时，f(0)=1+0⋅g(0)=1。因此，f(0)=1。
步骤 2：利用条件(1)求导
根据导数的定义，f'(x) = lim_(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x)) / Δx。
利用条件(1)，f(x+Δx) = f(x)⋅f(Δx)。
因此，f'(x) = lim_(Δx→0) (f(x)⋅f(Δx) - f(x)) / Δx = lim_(Δx→0) f(x)⋅(f(Δx) - 1) / Δx。
步骤 3：利用条件(2)简化表达式
由条件(2)，f(Δx) = 1 + Δx⋅g(Δx)。
因此，f'(x) = lim_(Δx→0) f(x)⋅(1 + Δx⋅g(Δx) - 1) / Δx = lim_(Δx→0) f(x)⋅(Δx⋅g(Δx)) / Δx = lim_(Δx→0) f(x)⋅g(Δx)。
步骤 4：利用极限性质求解
由条件(2)，lim_(x→0) g(x) = 1。
因此，f'(x) = f(x)⋅lim_(Δx→0) g(Δx) = f(x)⋅1 = f(x)。