题目
12. (25.0分) 求由曲线y=x^2+1，y=sqrt(x)与直线x=0，x=2所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
12. (25.0分)
求由曲线$y=x^{2}+1$，$y=\sqrt{x}$与直线x=0，x=2所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
题目解答
答案
为了求由曲线 $ y = x^2 + 1 $， $ y = \sqrt{x} $ 与直线 $ x = 0 $， $ x = 2 $ 所围成的图形绕 $ x $ 轴旋转一周而成的旋转体的体积，我们可以使用定积分的旋转体体积公式。具体步骤如下：
1. **确定积分区间和被积函数：**
- 积分区间是 $ [0, 2] $。
- 旋转体的体积是两个函数 $ y = x^2 + 1 $ 和 $ y = \sqrt{x} $ 绕 $ x $ 轴旋转一周所形成的体积之差。
2. **计算 $ y = x^2 + 1 $ 绕 $ x $ 轴旋转一周的体积：**
旋转体的体积 $ V_1 $ 由公式 $ V_1 = \pi \int_0^2 (x^2 + 1)^2 \, dx $ 给出。
\[
(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1
\]
所以，
\[
V_1 = \pi \int_0^2 (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2 \right) = \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 \right)
\]
为了合并这些分数，找到一个共同的分母，即15：
\[
\frac{32}{5} = \frac{96}{15}, \quad \frac{16}{3} = \frac{80}{15}, \quad 2 = \frac{30}{15}
\]
所以，
\[
V_1 = \pi \left( \frac{96}{15} + \frac{80}{15} + \frac{30}{15} \right) = \pi \cdot \frac{206}{15} = \frac{206\pi}{15}
\]
3. **计算 $ y = \sqrt{x} $ 绕 $ x $ 轴旋转一周的体积：**
旋转体的体积 $ V_2 $ 由公式 $ V_2 = \pi \int_0^2 (\sqrt{x})^2 \, dx $ 给出。
\[
(\sqrt{x})^2 = x
\]
所以，
\[
V_2 = \pi \int_0^2 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^2}{2} \right) = \pi \cdot 2 = 2\pi
\]
4. **计算两个体积之差：**
旋转体的体积 $ V $ 为 $ V = V_1 - V_2 $。
\[
V = \frac{206\pi}{15} - 2\pi = \frac{206\pi}{15} - \frac{30\pi}{15} = \frac{176\pi}{15}
\]
因此，由曲线 $ y = x^2 + 1 $， $ y = \sqrt{x} $ 与直线 $ x = 0 $， $ x = 2 $ 所围成的图形绕 $ x $ 轴旋转一周而成的旋转体的体积是 $\boxed{\frac{176\pi}{15}}$。
解析
步骤 1：确定积分区间和被积函数
- 积分区间是 $ [0, 2] $。
- 旋转体的体积是两个函数 $ y = x^2 + 1 $ 和 $ y = \sqrt{x} $ 绕 $ x $ 轴旋转一周所形成的体积之差。
步骤 2：计算 $ y = x^2 + 1 $ 绕 $ x $ 轴旋转一周的体积
- 旋转体的体积 $ V_1 $ 由公式 $ V_1 = \pi \int_0^2 (x^2 + 1)^2 \, dx $ 给出。
- 展开被积函数：$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$。
- 计算积分：$ V_1 = \pi \int_0^2 (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2 \right) = \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 \right)$。
- 合并分数：$\frac{32}{5} = \frac{96}{15}, \quad \frac{16}{3} = \frac{80}{15}, \quad 2 = \frac{30}{15}$。
- 所以，$ V_1 = \pi \left( \frac{96}{15} + \frac{80}{15} + \frac{30}{15} \right) = \pi \cdot \frac{206}{15} = \frac{206\pi}{15}$。
步骤 3：计算 $ y = \sqrt{x} $ 绕 $ x $ 轴旋转一周的体积
- 旋转体的体积 $ V_2 $ 由公式 $ V_2 = \pi \int_0^2 (\sqrt{x})^2 \, dx $ 给出。
- 展开被积函数：$(\sqrt{x})^2 = x$。
- 计算积分：$ V_2 = \pi \int_0^2 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^2}{2} \right) = \pi \cdot 2 = 2\pi$。
步骤 4：计算两个体积之差
- 旋转体的体积 $ V $ 为 $ V = V_1 - V_2 $。
- $ V = \frac{206\pi}{15} - 2\pi = \frac{206\pi}{15} - \frac{30\pi}{15} = \frac{176\pi}{15}$。
- 积分区间是 $ [0, 2] $。
- 旋转体的体积是两个函数 $ y = x^2 + 1 $ 和 $ y = \sqrt{x} $ 绕 $ x $ 轴旋转一周所形成的体积之差。
步骤 2：计算 $ y = x^2 + 1 $ 绕 $ x $ 轴旋转一周的体积
- 旋转体的体积 $ V_1 $ 由公式 $ V_1 = \pi \int_0^2 (x^2 + 1)^2 \, dx $ 给出。
- 展开被积函数：$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$。
- 计算积分：$ V_1 = \pi \int_0^2 (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2 \right) = \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 \right)$。
- 合并分数：$\frac{32}{5} = \frac{96}{15}, \quad \frac{16}{3} = \frac{80}{15}, \quad 2 = \frac{30}{15}$。
- 所以，$ V_1 = \pi \left( \frac{96}{15} + \frac{80}{15} + \frac{30}{15} \right) = \pi \cdot \frac{206}{15} = \frac{206\pi}{15}$。
步骤 3：计算 $ y = \sqrt{x} $ 绕 $ x $ 轴旋转一周的体积
- 旋转体的体积 $ V_2 $ 由公式 $ V_2 = \pi \int_0^2 (\sqrt{x})^2 \, dx $ 给出。
- 展开被积函数：$(\sqrt{x})^2 = x$。
- 计算积分：$ V_2 = \pi \int_0^2 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^2}{2} \right) = \pi \cdot 2 = 2\pi$。
步骤 4：计算两个体积之差
- 旋转体的体积 $ V $ 为 $ V = V_1 - V_2 $。
- $ V = \frac{206\pi}{15} - 2\pi = \frac{206\pi}{15} - \frac{30\pi}{15} = \frac{176\pi}{15}$。