[题目]求极限 lim _(xarrow infty )((sin dfrac {2)(x)+cos dfrac (1)(x))}^x= __

考查要点：本题主要考查变量替换法和洛必达法则在极限计算中的应用，特别是处理形如“1的∞次方”型未定式。

解题核心思路：

1. 变量替换：令 $t = \dfrac{1}{x}$，将原极限转化为关于 $t \rightarrow 0$ 的表达式。
2. 对数化简：对函数取自然对数，将乘积转化为加法，简化极限计算。
3. 洛必达法则：处理“$\dfrac{0}{0}$”型未定式，通过求导消去不定式形式。
4. 指数还原：通过 $e^{\lim \ln y}$ 得到最终结果。

破题关键点：

• 识别“1的∞次方”型未定式，选择对数化简法。
• 正确应用变量替换，将原极限转换为易处理的形式。
• 准确求导，确保洛必达法则应用过程无误。

题目修正说明：原题可能存在排版错误，实际应为求极限 $\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sin \dfrac {2}{x}+\cos \dfrac {1}{x})^{x}$，以下解析基于此修正。

步骤1：变量替换

令 $t = \dfrac{1}{x}$，则当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$t \rightarrow 0^+$。原式可改写为：
$\lim _{t \rightarrow 0^+} \left( \sin 2t + \cos t \right)^{\frac{1}{t}}$

步骤2：对数化简

设 $y = \left( \sin 2t + \cos t \right)^{\frac{1}{t}}$，取自然对数：
$\ln y = \dfrac{1}{t} \ln (\sin 2t + \cos t)$

步骤3：应用洛必达法则

当 $t \rightarrow 0$ 时，$\sin 2t \approx 2t$，$\cos t \approx 1 - \dfrac{t^2}{2}$，故 $\sin 2t + \cos t \approx 1 + 2t$，此时 $\ln (\sin 2t + \cos t) \approx \ln (1 + 2t) \approx 2t$，形成“$\dfrac{0}{0}$”型未定式。对分子分母分别求导：
$\begin{aligned}\lim _{t \rightarrow 0} \dfrac{\ln (\sin 2t + \cos t)}{t} &= \lim _{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt} \ln (\sin 2t + \cos t)}{\dfrac{d}{dt} t} \\&= \lim _{t \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{2\cos 2t - \sin t}{\sin 2t + \cos t}}{1} \\&= \dfrac{2 \cdot 1 - 0}{0 + 1} = 2\end{aligned}$

步骤4：指数还原

原极限为：
$\lim _{t \rightarrow 0} y = e^{\lim _{t \rightarrow 0} \ln y} = e^{2}$