题目
设 Sigma 为锥面 z = sqrt(x^2 + y^2) (0 leq z leq h) 的外侧，则 iiint_(Sigma) (y^2 - z), dy , dz + (z^2 - x), dz , dx + (x^2 - y), dx , dy = ( )A. 0B. -(h^4)/(4)C. -(pi h^4)/(4)D. (pi h^4)/(4)
设 $\Sigma$ 为锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2} (0 \leq z \leq h)$ 的外侧，则 $\iiint_{\Sigma} (y^2 - z)\, dy \, dz + (z^2 - x)\, dz \, dx + (x^2 - y)\, dx \, dy = (\quad)$
A. 0
B. $-\frac{h^4}{4}$
C. $-\frac{\pi h^4}{4}$
D. $\frac{\pi h^4}{4}$
题目解答
答案
C. $-\frac{\pi h^4}{4}$
解析
步骤 1：应用高斯公式
将向量场 $\mathbf{F} = (y^2 - z, z^2 - x, x^2 - y)$ 应用高斯公式，计算散度得： \[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 0 \]
步骤 2：闭合曲面的通量
曲面 $\Sigma$ 加上平面 $z = h$（取上侧）构成闭合曲面，由高斯公式知总通量为0。
步骤 3：计算平面 $z = h$ 上的通量
只需计算平面 $z = h$ 上的通量： \[ -\iint_{x^2 + y^2 \leq h^2} (x^2 - y) \, dx \, dy = -\iint_{x^2 + y^2 \leq h^2} x^2 \, dx \, dy \]
步骤 4：转换为极坐标
转换为极坐标： \[ -\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{h} r^3 \cos^2 \theta \, dr \, d\theta = -\frac{h^4}{4} \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta = -\frac{\pi h^4}{4} \]
将向量场 $\mathbf{F} = (y^2 - z, z^2 - x, x^2 - y)$ 应用高斯公式，计算散度得： \[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 0 \]
步骤 2：闭合曲面的通量
曲面 $\Sigma$ 加上平面 $z = h$（取上侧）构成闭合曲面，由高斯公式知总通量为0。
步骤 3：计算平面 $z = h$ 上的通量
只需计算平面 $z = h$ 上的通量： \[ -\iint_{x^2 + y^2 \leq h^2} (x^2 - y) \, dx \, dy = -\iint_{x^2 + y^2 \leq h^2} x^2 \, dx \, dy \]
步骤 4：转换为极坐标
转换为极坐标： \[ -\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{h} r^3 \cos^2 \theta \, dr \, d\theta = -\frac{h^4}{4} \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta \, d\theta = -\frac{\pi h^4}{4} \]