题目
已知函数f（x）=2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期，并求f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移(π)/(6)个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(1)/(2)（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x∈[-(π)/((12));，;(π)/(6)]时，求函数g（x）的值域；（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程g（x）=(4)/(3)在x∈[(π)/(6);，;((4π))/(3)]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值．
已知函数f（x）=2sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当$x∈[-\frac{π}{{12}}\;，\;\frac{π}{6}]$时，求函数g（x）的值域；
（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程$g（x）=\frac{4}{3}$在$x∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{{4π}}{3}]$上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再把横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当$x∈[-\frac{π}{{12}}\;，\;\frac{π}{6}]$时，求函数g（x）的值域；
（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程$g（x）=\frac{4}{3}$在$x∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{{4π}}{3}]$上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值．
题目解答
答案
解：（1）$T=\frac{{2π}}{2}=π$；
解$2kπ+\frac{π}{2}＜2x＜2kπ+\frac{{3π}}{2}$得：$kπ+\frac{π}{4}＜x＜kπ+\frac{{3π}}{4}$（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{4}\;，\;kπ+\frac{{3π}}{4}]\;（k∈Z）$；
（2）f（x）=2sin2x→$f（x-\frac{π}{6}）=2sin2（x-\frac{π}{6}）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$；
∴$g（x）=2sin（4x-\frac{π}{3}）$．
∵$x∈[-\frac{π}{{12}}\;，\;\frac{π}{6}]$，
∴$4x-\frac{π}{3}∈[-\frac{{2π}}{3}\;，\;\frac{π}{3}]$，
∴$sin（4x-\frac{π}{3}）∈[-1\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$；
∴当$x∈[-\frac{π}{{12}}\;，\;\frac{π}{6}]$时，函数g（x）的值域为$[-2\;，\;\sqrt{3}]$；
（3）由$g（x）=\frac{4}{3}$得：$sin（4x-\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，
令$t=4x-\frac{π}{3}$，则$t∈[\frac{π}{3}\;，\;5π]$，
则函数y=sint在$t∈[\frac{π}{3}\;，\;5π]$上的图象如下图所示：
由图可知，y=sint与$y=\frac{2}{3}$共有5个交点，
所以$g（x）=\frac{4}{3}$在$x∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{{4π}}{3}]$上共有5个根，即n=5．
故t1+2t2+2t3+2t4+t5=（t1+t4）+2（t2+t3）+（t4+t5）=$2×\frac{{5π}}{2}+2（2×\frac{{5π}}{2}）+2×\frac{{9π}}{2}=24π$；
所以${x_1}+2{x_2}+2{x_3}+2{x_4}+{x_5}=\frac{1}{4}（{t_1}+2{t_2}+2{t_3}+2{t_4}+{t_5}）+8×\frac{π}{{12}}=\frac{{20π}}{3}$．
解$2kπ+\frac{π}{2}＜2x＜2kπ+\frac{{3π}}{2}$得：$kπ+\frac{π}{4}＜x＜kπ+\frac{{3π}}{4}$（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{4}\;，\;kπ+\frac{{3π}}{4}]\;（k∈Z）$；
（2）f（x）=2sin2x→$f（x-\frac{π}{6}）=2sin2（x-\frac{π}{6}）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$；
∴$g（x）=2sin（4x-\frac{π}{3}）$．
∵$x∈[-\frac{π}{{12}}\;，\;\frac{π}{6}]$，
∴$4x-\frac{π}{3}∈[-\frac{{2π}}{3}\;，\;\frac{π}{3}]$，
∴$sin（4x-\frac{π}{3}）∈[-1\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$；
∴当$x∈[-\frac{π}{{12}}\;，\;\frac{π}{6}]$时，函数g（x）的值域为$[-2\;，\;\sqrt{3}]$；
（3）由$g（x）=\frac{4}{3}$得：$sin（4x-\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，
令$t=4x-\frac{π}{3}$，则$t∈[\frac{π}{3}\;，\;5π]$，
则函数y=sint在$t∈[\frac{π}{3}\;，\;5π]$上的图象如下图所示：
由图可知，y=sint与$y=\frac{2}{3}$共有5个交点，
所以$g（x）=\frac{4}{3}$在$x∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{{4π}}{3}]$上共有5个根，即n=5．
故t1+2t2+2t3+2t4+t5=（t1+t4）+2（t2+t3）+（t4+t5）=$2×\frac{{5π}}{2}+2（2×\frac{{5π}}{2}）+2×\frac{{9π}}{2}=24π$；
所以${x_1}+2{x_2}+2{x_3}+2{x_4}+{x_5}=\frac{1}{4}（{t_1}+2{t_2}+2{t_3}+2{t_4}+{t_5}）+8×\frac{π}{{12}}=\frac{{20π}}{3}$．
解析
步骤 1：求函数f（x）的最小正周期
函数f（x）=2sin2x的周期为$T=\frac{2π}{2}=π$。
步骤 2：求f（x）的单调递减区间
解不等式$2kπ+\frac{π}{2}＜2x＜2kπ+\frac{3π}{2}$，得到$kπ+\frac{π}{4}＜x＜kπ+\frac{3π}{4}$（k∈Z），即f（x）的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{4}\;，\;kπ+\frac{3π}{4}]\;（k∈Z）$。
步骤 3：求函数g（x）的值域
将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到$2sin2（x-\frac{π}{6}）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，再把横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到$g（x）=2sin（4x-\frac{π}{3}）$。当$x∈[-\frac{π}{12}\;，\;\frac{π}{6}]$时，$4x-\frac{π}{3}∈[-\frac{2π}{3}\;，\;\frac{π}{3}]$，所以$sin（4x-\frac{π}{3}）∈[-1\;，\;\frac{\sqrt{3}}{2}]$，因此函数g（x）的值域为$[-2\;，\;\sqrt{3}]$。
步骤 4：确定n的值并求x_1+2x_2+2x_3+…+2x_n-1+x_n的值
由$g（x）=\frac{4}{3}$得：$sin（4x-\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，令$t=4x-\frac{π}{3}$，则$t∈[\frac{π}{3}\;，\;5π]$，函数y=sint在$t∈[\frac{π}{3}\;，\;5π]$上的图象与$y=\frac{2}{3}$共有5个交点，所以$g（x）=\frac{4}{3}$在$x∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{4π}{3}]$上共有5个根，即n=5。故$t_1+2t_2+2t_3+2t_4+t_5=（t_1+t_4）+2（t_2+t_3）+（t_4+t_5）=2×\frac{5π}{2}+2（2×\frac{5π}{2}）+2×\frac{9π}{2}=24π$；所以${x_1}+2{x_2}+2{x_3}+2{x_4}+{x_5}=\frac{1}{4}（{t_1}+2{t_2}+2{t_3}+2{t_4}+{t_5}）+8×\frac{π}{12}=\frac{20π}{3}$。
函数f（x）=2sin2x的周期为$T=\frac{2π}{2}=π$。
步骤 2：求f（x）的单调递减区间
解不等式$2kπ+\frac{π}{2}＜2x＜2kπ+\frac{3π}{2}$，得到$kπ+\frac{π}{4}＜x＜kπ+\frac{3π}{4}$（k∈Z），即f（x）的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{4}\;，\;kπ+\frac{3π}{4}]\;（k∈Z）$。
步骤 3：求函数g（x）的值域
将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到$2sin2（x-\frac{π}{6}）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，再把横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到$g（x）=2sin（4x-\frac{π}{3}）$。当$x∈[-\frac{π}{12}\;，\;\frac{π}{6}]$时，$4x-\frac{π}{3}∈[-\frac{2π}{3}\;，\;\frac{π}{3}]$，所以$sin（4x-\frac{π}{3}）∈[-1\;，\;\frac{\sqrt{3}}{2}]$，因此函数g（x）的值域为$[-2\;，\;\sqrt{3}]$。
步骤 4：确定n的值并求x_1+2x_2+2x_3+…+2x_n-1+x_n的值
由$g（x）=\frac{4}{3}$得：$sin（4x-\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，令$t=4x-\frac{π}{3}$，则$t∈[\frac{π}{3}\;，\;5π]$，函数y=sint在$t∈[\frac{π}{3}\;，\;5π]$上的图象与$y=\frac{2}{3}$共有5个交点，所以$g（x）=\frac{4}{3}$在$x∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{4π}{3}]$上共有5个根，即n=5。故$t_1+2t_2+2t_3+2t_4+t_5=（t_1+t_4）+2（t_2+t_3）+（t_4+t_5）=2×\frac{5π}{2}+2（2×\frac{5π}{2}）+2×\frac{9π}{2}=24π$；所以${x_1}+2{x_2}+2{x_3}+2{x_4}+{x_5}=\frac{1}{4}（{t_1}+2{t_2}+2{t_3}+2{t_4}+{t_5}）+8×\frac{π}{12}=\frac{20π}{3}$。