2. 离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=blambda^k(k=1,2,...)的充分必要条件是（）A. b>0且0B. b=1-λ且0C. b=(1)/(lambda)-1且λD. λ=(1)/(1+b)且b>0

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的两个基本条件：非负性和归一性（概率和为1）。需要根据这两个条件推导参数的关系，并结合选项判断正确性。

解题核心思路：

1. 非负性：每个概率值必须非负，即$b\lambda^k \geq 0$，由此可得$b>0$且$\lambda>0$。
2. 归一性：所有概率之和为1，即$\sum_{k=1}^{\infty} b\lambda^k = 1$。通过等比数列求和公式，可建立方程求解$b$与$\lambda$的关系。

破题关键点：

• 等比数列求和公式的应用：$\sum_{k=1}^{\infty} \lambda^k = \frac{\lambda}{1-\lambda}$（当$|\lambda| < 1$时成立）。
• 参数关系的等价变形：从方程$\frac{b\lambda}{1-\lambda} = 1$出发，推导出$b$与$\lambda$的等价表达式，并结合选项验证。

非负性条件

由于$P(X=k) = b\lambda^k \geq 0$对所有$k=1,2,\cdots$成立，且$\lambda^k > 0$当$\lambda > 0$时，因此必须满足：

• $b > 0$；
• $\lambda > 0$。

归一性条件

根据概率和为1的条件：
$\sum_{k=1}^{\infty} b\lambda^k = b \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \lambda^k = b \cdot \frac{\lambda}{1-\lambda} = 1.$
解得：
$b\lambda = 1 - \lambda \implies \lambda = \frac{1}{1+b} \quad \text{或} \quad b = \frac{1}{\lambda} - 1.$

选项分析

• (A)：仅给出$b>0$和$0<\lambda<1$，但未保证$b\lambda/(1-\lambda)=1$，无法满足归一性，故不充分。
• (B)：若$b=1-\lambda$，代入归一性方程得$\lambda=1$，与$0<\lambda<1$矛盾。
• (C)：若$b=\frac{1}{\lambda}-1$，但未限制$\lambda>0$，当$\lambda<0$时$b$可能为负，导致概率非负性不成立。
• (D)：$\lambda=\frac{1}{1+b}$且$b>0$，此时$\lambda \in (0,1)$，且代入归一性方程成立，满足所有条件。